Pernahkah kalian berbelanja di supermarket?
Sebelum berbelanja, kalian pasti
memperkirakan barang apa saja yang akan
dibeli dan berapa jumlah uang yang harus
dibayar. Kalian dapat memperkirakan jumlah
uang yang harus dibayar jika kalian
mengetahui harga dan banyaknya barang
yang akan dibeli. Untuk menghitungnya,
kalian tentu memerlukan cara perkalian atau
menggunakan cara faktorisasi.
FAKTORISASI SUKU
ALJABAR
Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada
bentuk aljabar;
dapat menentukan faktor suku aljabar;
dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya.
1
Kata-Kata Kunci:
penjumlahan bentuk aljabar perpangkatan bentuk aljabar
pengurangan bentuk aljabar faktor suku aljabar
perkalian bentuk aljabar faktorisasi bentuk aljabar
pembagian bentuk aljabar
Sumber: Dok. Penerbit
4 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Tulislah setiap kalimat
berikut dengan menggunakan
variabel sebagai
pengganti bilangan yang
belum diketahui nilainya.
a. Jumlah dua bilangan
ganjil berurutan adalah
20.
b. Suatu bilangan jika
dikalikan 5 kemudian
dikurangi 3, hasilnya
adalah 12.
Penyelesaian:
a. Misalkan bilangan tersebut x dan x + 2, berarti
x + x + 2 = 20.
b. Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12.
A. PENGERTIAN KOEFISIEN, VARIABEL,
KONSTANTA, DAN SUKU
Di kelas VII kalian telah mempelajari mengenai bentukbentuk
aljabar. Coba kalian ingat kembali materi tersebut, agar
kalian dapat memahami bab ini dengan baik. Selain itu, kalian juga
harus menguasai materi tentang KPK dari dua bilangan atau lebih
dan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Perhatikan uraian
berikut.
Bonar dan Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah.
Mereka membeli 5 buku tulis, 2 pensil, dan 3 bolpoin. Jika buku
tulis dinyatakan dengan x, pensil dengan y, dan bolpoin dengan z
maka Bonar dan Cut Mimi membeli 5x + 2y + 3z.
Selanjutnya, bentuk-bentuk 5x + 2y + 3z, 2x2, 4xy2, 5x2 – 1,
dan (x – 1) (x + 3) disebut bentuk-bentuk aljabar. Sebelum
mempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita ingat kembali
istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.
1. Variabel
Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum
diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah.
Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z.
(Berpikir kritis)
Tentukan variabel
pada bentuk aljabar
berikut.
1. 2x – 4 = 0
2. –x2 + y + xy – 1 = 4
3. (3x – 1) (–x + 2) = 0
4. (a – b) (a + b) = 0
5 Faktorisasi Suku Aljabar
Tentukan konstanta pada
bentuk aljabar berikut.
a. 2x2 + 3xy + 7x – y – 8
b. 3 – 4x2 – x
Penyelesaian:
a. Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel,
sehingga konstanta dari 2x2 + 3xy + 7x – y – 8
adalah –8.
b. Konstanta dari 3 – 4x2 – x adalah 3.
3. Koefisien
Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari
suatu suku pada bentuk aljabar.
Tentukan koefisien x pada
bentuk aljabar berikut.
a. 5x2y + 3x
b. 2x2 + 6x – 3
Penyelesaian:
a. Koefisien x dari 5x2y + 3x adalah 3.
b. Koefisien x dari 2x2 + 6x – 3 adalah 6.
4. Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta
pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh
operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x, 4a2, –2ab, ...
b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu
operasi jumlah atau selisih.
Contoh: a2 + 2, x + 2y, 3x2 – 5x, ...
c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua
operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ...
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku
banyak atau polinom.
Nanti, di tingkat yang lebih lanjut kalian akan mempelajari mengenai
suku banyak atau polinom.
2. Konstanta
Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak
memuat variabel disebut konstanta.
(Berpikir kritis)
Sebuah segitiga panjang
alasnya sama dengan
setengah kali
tingginya. Tuliskan luas
dan keliling segitiga
tersebut dalam bentuk
aljabar.
6 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan koefisien-koefisien dari setiap
variabel pada bentuk aljabar berikut.
a. 2x2 – 4y
b. a2 + 3ab – b2 + 1
c. 4x + 2xy + y2
d. 2x – 3
e. p3 – p2q + 4pq2 – 5q3 + 5
2. Tentukan konstanta pada setiap bentuk
aljabar berikut.
a. 3x2 – 4x – 5
b. xy – 2x + y + 1
c. 2x + 4
d. (x + 3)2
e. 2 + x – 5x2
3. Manakah dari bentuk-bentuk aljabar
berikut yang merupakan suku satu, suku
dua, dan suku tiga?
a. 3x + 2
b. 4x 2 5
x x
dengan x 0
c. x2 – x
d. a2 – b2 + (2a2 – 4b + 1)
e. 1 + 2y + x + 5x2 – 3xy
4. Termasuk suku berapakah bentuk aljabar
berikut ini?
a. 2 + 3x + ax2 + 5x4 + 6x5
b. pqr – 1
c. (a + b) + (a – b) + (2a – b) + (a + 2b)
d. 2a 3b + c (dengan c = ab)
e. 5p : q (dengan q =
1
p dan p 0)
5. Tulislah setiap kalimat berikut dengan
menggunakan variabel x.
a. Umur Made dan umur Putri berselisih
lima tahun dan berjumlah tiga belas
tahun.
b. Suatu bilangan jika dikalikan dua
kemudian ditambah tiga, dan
dikuadratkan menghasilkan bilangan
225.
c. Sepuluh kurangnya dari luas suatu
persegi adalah 111 cm2.
d. Sebuah pecahan jika penyebutnya
ditambah tiga dan pembilangnya
dikurangi empat sama dengan 17
.
e. Umur Mira tiga puluh tahun yang lalu
adalah 1
4
umurnya sekarang.
B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Perhatikan uraian berikut ini.
Ujang memiliki 15 kelereng merah dan 9 kelereng putih. Jika
kelereng merah dinyatakan dengan x dan kelereng putih dinyatakan
dengan y maka banyaknya kelereng Ujang adalah 15x + 9y.
7 Faktorisasi Suku Aljabar
Selanjutnya, jika Ujang diberi kakaknya 7 kelereng merah dan 3
kelereng putih maka banyaknya kelereng Ujang sekarang adalah
22x + 12y. Hasil ini diperoleh dari (15x + 9y) + (7x + 3y).
Amatilah bentuk aljabar 3x2 – 2x + 3y + x2 + 5x + 10. Sukusuku
3x2 dan x2 disebut suku-suku sejenis, demikian juga sukusuku
–2x dan 5x. Adapun suku-suku –2x dan 3y merupakan sukusuku
tidak sejenis.
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel
dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
Pemahaman mengenai suku-suku sejenis dan suku-suku tidak
sejenis sangat bermanfaat dalam menyelesaikan operasi
penjumlahan dan pengurangan dari bentuk aljabar. Operasi
penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat
diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan
distributif dengan memerhatikan suku-suku yang sejenis. Coba
kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan dan
pengurangan bilangan bulat. Sifat-sifat tersebut berlaku pada
penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.
1. Tentukan hasil penjumlahan
3x2 – 2x + 5
dengan x2 + 4x – 3.
Penyelesaian:
(3x2 – 2x + 5) + (x2 + 4x – 3)
= 3x2 – 2x + 5 + x2 + 4x – 3
= 3x2 + x2 – 2x + 4x + 5 – 3 kelompokkan sukusuku
sejenis
= (3 + 1)x2 + (–2 + 4)x + (5 – 3) sifat distributif
= 4x2 + 2x + 2
2. Tentukan hasil pengurangan
4y2 – 3y + 2
dari 2(5y2 – 3).
Penyelesaian:
2(5y2 – 3) – (4y2 – 3y + 2)
= 10y2 – 6 – 4y2 + 3y – 2
= (10 – 4)y2 + 3y + (–6 – 2)
= 6y2 + 3y – 8
(Berpikir kritis)
Coba ingat kembali
mengenai sifat
komutatif, asosiatif,
dan distributif pada
bilangan bulat.
Eksplorasilah
penggunaan sifat-sifat
tersebut pada bentuk
aljabar.
Diskusikan hal ini
dengan teman
sebangkumu.
8 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
1. Tentukan koefisien dari x dan y2 pada
bentuk aljabar berikut.
a. 3x + 5y2 – 4x + (–2y2) – 7
b. 2y2 – x + 4 – y2 + 3x – 5
c. 6x – 4y2 + z – 2x + y2 – 3z
d. 3(x – y2 + 2) – 5(2x + 3y2 – 2)
2. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar
berikut.
a. (2x + 8) + (4x – 5 – 5y)
b. (3p + q) + (–2p – 5q + 7)
c. (3x2 + 2x – 1) + (x2 – 5x + 6)
d. 2(x + 2y – xy) + 5(2x – 3y + 5xy)
3. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar
berikut.
a. (2x + 5) – (x – 3)
b. (x2 + 4x – 1) – (2x2 + 4x)
c. (y2 – 3) – (4y2 + 5y + 6)
d. (5a – 6 + ab) – (a + 2ab – 1)
4. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar
berikut.
a. a2 + 2ab – 3b2 – 7a2 – 5ab
b. x2 – x – 6 + 3x2 – xy
c. 3p3 – 2pq2 + p2q – 7p3 + 2p2q
d. –2(p3 – 2pq + q2) + 3(p3 + 4pq –
q2)
2. Perkalian
a. Perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar
Coba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat.
Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac.
Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi
perkalian pada bentuk aljabar.
Perkalian suku dua (ax + b) dengan skalar/bilangan k
dinyatakan sebagai berikut.
k(ax + b) = kax + kb
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Jabarkan bentuk perkalian
berikut.
a. 2(3x – y)
b. 8(–x2 + 3x)
Penyelesaian:
a. 2(3x – y) = 2 3x + 2 (–y)
= 6x – 2y
b. 8(–x2 + 3x) = –8x2 + 24x
2. Selesaikan bentuk perkalian
berikut.
a. 2(–6x)
Penyelesaian:
a. 2(–6x) = 2 (–6) x
= –12x
9 Faktorisasi Suku Aljabar
b.
12 1
3
a
c. (–4x)(–2y)
d. (3a)(–3a)
b. Perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk aljabar
Telah kalian pelajari bahwa perkalian antara bilangan skalar
k dengan suku dua (ax + b) adalah k (ax + b) = kax + kb.
Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk
aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh
sebagai berikut.
(ax + b) (cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)
= ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd
Sifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan
suku tiga.
b. 12 1
3
a
=
12 1
3
a
= –4a
c. (–4x)(–2y) = (–4) (–2) xy
= 8xy
d. (3a)(–3a) = 3 (–3) a2
= –9a2
Panjang sisi miring
sebuah segitiga sikusiku
adalah
(5x – 3) cm, sedangkan
panjang sisi sikusikunya
(3x + 3) cm
dan (4x – 8) cm.
Tentukan keliling dan
luas segitiga tersebut
dalam bentuk aljabar.
(ax + b) (cx2 + dx + e) = ax(cx2) + ax(dx) + ax(e) + b(cx2) + b(dx) + b(e)
= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be
= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be
Selanjutnya, kita akan membahas mengenai hasil perkalian
(ax + b) (ax + b), (ax + b)(ax – b), (ax – b)(ax – b), dan
(ax2 + bx + c)2. Pelajari uraian berikut ini.
a.
2
2
2 2 2
2 2 2 2
ax b ax b ax b
ax ax b b ax b
ax ax ax b b ax b
a x abx abx b
a x abx b
b.
2 2 2
2 2 2
ax b ax b ax ax b b ax b
ax ax ax b b ax b b
a x abx abx b
a x b
(Berpikir kritis)
Dengan memanfaatkan
sifat distributif,
tentukan hasil perkalian
dari bentuk aljabar
(ax2 + bx + c)2.
Diskusikan dengan
temanmu.
10 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
c.
2
2 2 2
2 2 2 2
ax b ax b ax b
ax ax b b ax b
ax ax ax b b ax b b
a x abx abx b
a x abx b
Tentukan hasil perkalian
bentuk aljabar berikut.
1. (x + 2) (x + 3)
2. (2x + 3) (x2 + 2x – 5)
Penyelesaian:
1. Cara (i) dengan sifat distributif
(x + 2) (x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
Cara (ii) dengan skema
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
Cara (iii) dengan peragaan mencari luas persegi panjang
dengan p = x + 3 dan l = x + 2 seperti ditunjukkan pada
Gambar 1.1.
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
2. Cara (i) dengan sifat distributif
(2x + 3) (x2 + 2x – 5)
= 2x(x2 + 2x – 5) + 3(x2 + 2x – 5)
= 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15
= 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 + 7x2 – 4x – 15
x 3
x
2
(x + 2) (x + 3)
(a)
3
x
2
(b)
2 x
3 x
6
x
x2
=
Gambar 1.1
(Berpikir kritis)
Dengan menggunakan
skema, coba jabarkan
bentuk aljabar
(ax + by) (ax + by + z).
11 Faktorisasi Suku Aljabar
Cara (ii) dengan skema
(2x + 3) (x2 + 2x – 5)
= 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15
= 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 + 7x2 – 4x – 15
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar
berikut.
a. 2(x + 4) e. 4a2(–a + 2b)
b. –3(a – 2b) f. 2xy(x – 4)
c. 5(3x + 2y) g. –p2(p2 – 3p)
d. –2a(a + 4b) h. 1
2 (4x – 6y)
2. Jabarkan bentuk perkalian berikut dengan
menggunakan sifat distributif.
a. (2x – 3) (x + 5)
b. (3x – y) (x + y)
c. (5m – 1) (m + 4)
d. (2p + q) (p – 4q)
e. (a – 4) (2a + 3)
f. (a + 3b) (2a – 4b)
g. (–3 – p) (5 + p)
h. (5 + a) (7 – a)
3. Jabarkan bentuk perkalian berikut dengan
menggunakan skema, kemudian
sederhanakan.
a. (2x + 3) (x – 4)
b. (a + 3b) (a – 5b)
c. (5m – 1) (2m + 4)
d. (a – 3) (a2 + 4a + 5)
e. (x + y) (3x2 + xy + 2y2)
f. (3k – 5) (k2 + 2k – 6)
g. (a + ab + b) (a – b)
h. (x2 + 3x – 5) (x2 – 2x – 1)
4. Tentukan hasil perkalian berikut.
a. ab(a + 2b – c)
b. 5xy(x – 3y + 5)
c. 2xy(x – 3y)
d. 5a(3ab – 2ac)
e. 3y(4xy – 4yz)
3. Perpangkatan Bentuk Aljabar
Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan
bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian
berulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat
a, berlaku
n ...
sebanyak n kali
a aaa a
Sekarang kalian akan mempelajari operasi perpangkatan pada
bentuk aljabar.
12 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
(a + b)1 = a + b
koefisien a dan b adalah 1 1
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
koefisien a2, ab, dan b2 adalah 1 2 1
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
koefisien a3, a2b, ab2 dan b3 adalah 1 3 3 1
(a + b)4 = (a + b)2 (a + b)2
= (a2 + 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2)
= a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2ab3 + a2b2 + 2ab3 + b4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
koefisien a4, a3b, a2b2, ab3, dan b4 adalah 1 4 6 4 1
Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan
perbedaan antara 3x2, (3x)2, –(3x)2, dan (–3x)2 sebagai berikut.
a. 3x2 = 3 x x
= 3x2
b. (3x)2 = (3x) (3x)
= 9x2
c. –(3x)2 = –((3x) (3x))
= –9x2
d. (–3x)2 = (–3x) (–3x)
= 9x2
Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku
dua, perhatikan uraian berikut.
Demikian seterusnya untuk (a + b)n dengan n bilangan asli.
Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien
(a + b)n membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.
13 Faktorisasi Suku Aljabar
(a + b)0 1
(a + b)1 1 1
(a + b)2 1 2 1
(a + b)3 1 3 3 1
(a + b)4 1 4 6 4 1
(a + b)5 1 5 10 10 5 1
(a + b)6 1 6 15 20 15 6 1
(a + b)7 ................
Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an
kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku
ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1
pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn
pada suku ke-(n + 1).
Perhatikan contoh berikut.
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
Tentukan hasil perpangkatan
bentuk aljabar berikut.
a. (2x + 3)4
b. (x + 4y)3
Penyelesaian:
a. (2x + 3)4
= 1(2x)4 + 4(2x)3(3) + 6(2x)2(32) + 4(2x)1(33) + 1(34)
= 1(16x4) + 4(8x3)(3) + 6(4x2)(9) + 4(2x)(27) + 1(81)
= 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81
b. (x + 4y)3
= 1(x3) + 3(x2)(4y)1 + 3x (4y)2 + 1(4y)3
= 1x3 + 3x2(4y) + 3x(16y2) + 1(64y3)
= x3 + 12x2y + 48xy2 + 64y3
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan hasil perpangkatan bentuk
aljabar berikut.
a. (5a)3 c. (–3x)3
b. (2xy)2 d. (4p2q)2
(Berpikir kritis)
Berdasarkan konsep
segitiga Pascal, coba
jabarkan bentuk
aljabar (a + b)n untuk
7 n 10.
Bandingkan hasilnya
dengan teman
sebangkumu. Apakah
jawabanmu sudah
tepat?
14 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
e. (–5xy3)4 g. –(3pq)4
f. –(2abc)3 h. a(ab2)3
2. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar
berikut.
a. (x + 4)3 e. (3m – 2n)4
b. (a – 5)4 f. (4a – 3b)3
c. (2x + y)3 g. (2y2 + y)3
d. (3p + q)4 h. (3a – 2)5
3. Tentukan koefisien (a + b)n pada suku
yang diberikan.
a. Suku ke-3 pada (3a + 4)4.
b. Suku ke-2 pada (x + 3y)3.
c. Suku ke-2 pada (a – 2b)4.
d. Suku ke-4 pada (–2x + 5y)5.
e. Suku ke-5 pada (2m – 3)5.
4. Jabarkan bentuk aljabar berikut,
kemudian sederhanakan.
a. (2x – 1)2
b. (3 + 5x)2
c. (2x + y)2 + (x + 2y + 1)
d. (3x + 1)2 – (3x – 1)2
e. (3x + 2)2 + (2x + 1)(1 – 2x)
4. Pembagian
Kalian telah mempelajari penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar. Sekarang kalian
akan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.
Telah kalian pelajari bahwa jika suatu bilangan a dapat diubah
menjadi a = p q dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan q
disebut faktor-faktor dari a. Hal tersebut berlaku pula pada bentuk
aljabar.
Perhatikan uraian berikut.
2 2 2 2
3 2 3 2
2 2
x yz x y z
x y z x y z
Pada bentuk aljabar di atas, 2, x2, y, dan z2 adalah faktorfaktor
dari 2x2yz2, sedangkan x3, y2, dan z adalah faktor-faktor
dari bentuk aljabar x3y2z.
Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 2x2yz2 dan x3y2z adalah
x2, y, dan z, sehingga diperoleh
2 2 2
3 2
2
x yz x yz
x y z
2
2z
x yz
2
xy
z
xy
Berdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jika
dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil
bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang
lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk
aljabar kalian harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutu
kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.
15 Faktorisasi Suku Aljabar
Sederhanakan bentuk
aljabar berikut.
1. 5xy : 2x
2. 6x3 : 3x2
3. 8a2b3 : 2ab
4. (p2q pq) : p2q2
Penyelesaian:
1. 5 : 2 5 5 5
2 2 2
xy x xy y x y faktor sekutu x
x x
2.
3 2
3 2 2
2 2
6 :3 6 3 2 2 3
3 3
x x x x x x faktor sekutu x
x x
3.
2 3 2
2 3
2
8 : 2 8 2 4
2 2
4 2
a b ab a b ab ab
ab ab
ab faktor sekutu ab
4. 2 32
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
:
p q pq p q p q pq p q
p q p q
p q p p
p q
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Sederhanakan bentuk aljabar berikut.
1. 6xy : 2y
2. 10a2b4c3 : 2abc
3. p4q6r5 : pq2r3
4. 6x3y7 : 2xy : 3y
5. 18a3b5c6 : 2ab2 : 3a2c2
C. PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR
Di kelas VII kalian telah mempelajari materi mengenai KPK
dan FPB. Pada materi tersebut kalian telah mempelajari cara
menentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Coba ingat
kembali cara menentukan faktor dari suatu bilangan. Perhatikan
uraian berikut.
48 = 1 48
= 24 3
Bilangan 1, 24, 3, dan 48 adalah faktor-faktor dari 48.
6. 20a4b5c7 : (4a2b2c3 : 2abc)
7. 21p4q5r3 : (8p2qr3 : 2pqr)
8. 3x2y 2yz2 : xyz
9. 30x6y9 : (5x4y2 2xy3)
10. 32x4yz6 : 2xyz 4xy2z3
16 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Bilangan 2 dan 3 adalah faktor prima dari 48.
Jadi, bentuk perkalian 24 3 merupakan faktorisasi prima
dari 48.
Ingat kembali bahwa faktorisasi prima dari suatu bilangan
adalah perkalian faktor-faktor prima dari bilangan tersebut.
Di bagian depan telah kalian pelajari bahwa sifat distributif
a(x + y) dapat dinyatakan sebagai berikut.
ax + ay = a(x + y)
bentuk
penjumlahan
bentuk
perkalian
dengan , , dan adalah
bilangan real.
a x y
Dari bentuk di atas, tampak bahwa bentuk penjumlahan dapat
dinyatakan sebagai bentuk perkalian jika suku-suku dalam bentuk
penjumlahan tersebut memiliki faktor yang sama. Dari bentuk
ax + ay = a(x + y), a dan (x + y) merupakan faktor-faktor dari
ax + ay.
Proses menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk
perkalian faktor-faktornya disebut pemfaktoran atau faktorisasi.
Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah
menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian
dari bentuk aljabar tersebut.
Sekarang, kalian akan mempelajari faktorisasi dari beberapa
bentuk aljabar. Perhatikan uraian berikut.
1. Bentuk ax + ay + az + ... dan ax + bx – cx
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih dan
memiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakan
sifat distributif.
ax + ay + az + ... = a(x + y + z + ...)
ax + bx – cx = x(a + b – c)
Faktorkanlah bentuk-bentuk
aljabar berikut.
a. 2x + 2y
b. x2 + 3x
c. a2 + ab
d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr
Penyelesaian:
a. 2x + 2y memiliki faktor sekutu 2, sehingga
2x + 2y = 2(x + y).
b. x2 + 3x memiliki faktor sekutu x, sehingga
x2 + 3x = x(x + 3).
c. a2 + ab memiliki faktor sekutu a, sehingga
a2 + ab = a(a + b).
17 Faktorisasi Suku Aljabar
Faktorkanlah bentuk aljabar
berikut.
a. x2 – 4
b. a2 – 9b2
c. 4p2 – 36
d. 9x2 – 25y2
Penyelesaian:
a. x2 – 4 = x2 – 22
= (x – 2) (x + 2)
b. a2 – 9b2 = a2 – (3b)2
= (a – 3b) (a + 3b)
c. 4p2 – 36 = (2p)2 – 62
= (2p – 6) (2p + 6)
d. 9x2 – 25y2 = (3x)2 – (5y)2
= (3x – 5y) (3x + 5y)
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. 3x – 3y 6. 3p2 – 12 11. x2 – 25 16. 64a2 – 9
2. 2x + 6 7. ab + bc 12. 9m2 – 16 17. 8a2 – 2b2
3. x3 + xy2 8. 8pq + 24pqr 13. 1 – x2 18. 25p2 – 16q2
4. ap2 + 2ap 9. x4 – 3x2 + x 14. 49 – p2 19. 36x2 – 81y2
5. 4x2y – 6xy3 10. 15x2 – 18xy + 9xz 15. 9x2 – 16 20. 81p2 – 100q2
d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr memiliki faktor sekutu pqr,
sehingga
pq2r3 + 2p2qr + 3pqr = pqr(qr2 + 2p + 3).
2. Bentuk Selisih Dua Kuadrat x2 – y2
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku dan merupakan
selisih dua kuadrat dapat dijabarkan sebagai berikut.
2 2 2 2
2 2
x y x xy xy y
x xy xy y
x x y y x y
x y x y
Dengan demikian, bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2 dapat
dinyatakan sebagai berikut.
x2 y2 x yx y
18 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
3. Bentuk x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy + y2
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar x2 + 2xy + y2 dan
x2 – 2xy + y2 perhatikan uraian berikut.
a.
2 2 2 2
2 2
2
2
x xy y x xy xy y
x xy xy y
x x y y x y
x y x y
x y
b.
2 2 2 2
2 2
2
2
x xy y x xy xy y
x xy xy y
x x y y x y
x y x y
x y
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
x2 + 2xy + y2 = (x + y) (x + y) = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y) = (x – y)2
Faktorkanlah bentuk-bentuk
berikut.
a. p2 + 2pq + q2
b. x2 – 4x + 4
Penyelesaian:
a.
2 2 2 2
2 2
2
2
p pq q p pq pq q
p pq pq q
p p q q p q
p q p q
p q
b.
2 2
2
2
4 4 2 2 4
2 2 4
2 2 2
2 2
2
x x x x x
x x x
x x x
x x
x
4. Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Pada pembahasan di depan telah kalian pelajari mengenai
perkalian antara suku dua dan suku dua sebagai berikut.
19 Faktorisasi Suku Aljabar
1. Faktorkanlah bentuk
aljabar berikut.
a. x2 + 4x + 3
b. x2 – 13x + 12
Penyelesaian:
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c
dengan c positif sebagai berikut.
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.
a. x2 + 4x + 3 = (x + 1) (x + 3)
b. x2 – 13x + 12 = (x – 1) (x – 12)
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6 ........... (dihasilkan suku tiga)
Sebaliknya, bentuk suku tiga x2 + 5x + 6 apabila difaktorkan
menjadi
x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
5 = 2 + 3 6 = 2 3 2 3 = 6
2 + 3 = 5
Perhatikan bahwa bentuk aljabar x2 + 5x + 6 memenuhi bentuk
x2 + bx + c.
Berdasarkan pengerjaan di atas, ternyata untuk memfaktorkan
bentuk x2 + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua bilangan
real yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama dengan
b.
Misalkan x2 + bx + c sama dengan (x + m) (x + n).
x2 + bx + c = (x + m) (x + n)
= x2 + mx + nx + mn
= x2 + (m + n)x + mn
x2 + bx + c = x2 + (m + n)x + mn
x2 + bx + c = (x + m) (x + n) dengan m n = c dan
m + n = b
3 Jumlah
1 3 4
12 Jumlah
1 12 13
2 6 8
3 4 7
20 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Penyelesaian:
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar
x2 + bx + c untuk c negatif sebagai berikut.
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b.
– Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan
b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda
sebaliknya.
a. x2 + 4x – 12 = (x – 2) (x + 6)
b. x2 – 15x – 16 = (x + 1) (x – 16)
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. x2 – 6x + 8 6. m2 + 8m + 16 11. x2 – 6x + 9 16. t2 – 3t – 18
2. x2 + 9x + 20 7. p2 – 8p + 12 12. x2 – 2xy + y2 17. b2 – 2b – 8
3. x2 + 7x + 12 8. b2 + 6b + 9 13. a2 – 2a – 15 18. p2 + 8p – 33
4. p2 – 5p + 4 9. p2 – 4p + 4 14. m2 + 2m + 1 19. n2 + 2n – 8
5. a2 + 8a + 12 10. x2 – 8x + 16 15. a2 + 5a – 24 20. y2 + 3y – 40
12 Selisih
1 12 11
2 6 4
3 4 1
16 Selisih
1 16 15
2 8 6
4 4 0
5. Bentuk ax2 + bx + c dengan a 1, a 0
Kalian telah mempelajari perkalian antara suku dua dengan
suku dua menjadi bentuk penjumlahan seperti berikut.
(3x + 2) (4x + 3) = 12x2 + 9x + 8x + 6
= 12x2 + 17x + 6
Perhatikan bahwa (9 + 8) = 17 dan 9 8 = 12 6.
12 6 = 72
9 8 = 72
9 8 = 17
2. Faktorkanlah bentuk
aljabar berikut.
a. x2 + 4x – 12
b. x2 – 15x – 16
21 Faktorisasi Suku Aljabar
Berdasarkan uraian di atas dapat dikatakan bahwa bentuk
ax2 + bx + c dengan a 1, a 0 dapat difaktorkan dengan cara
berikut.
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c
dengan p q = a c
p + q = b
Selain dengan menggunakan sifat distributif, terdapat rumus
yang dapat digunakan untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 +
bx + c dengan a 1. Perhatikan uraian berikut.
Misalkan ax2 + bx + c = 1a
(ax + m) (ax + n).
ax2 + bx + c
ax m ax n
a
aax2 bx c a2x2 amx anx mn
a2x2 + abx + ac = a2x2 + a(m + n)x + mn
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa m n = a c dan
m + n = b.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa ada dua cara
untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 + bx + c dengan a 1
sebagai berikut.
a. Menggunakan sifat distributif
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c dengan
p q = a c dan
p + q = b
b. Menggunakan rumus
ax2 + bx + c = 1a
(ax + m) (ax + n) dengan
m n = a c dan
m + n = b
22 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
ac = 45 Jumlah
1 45 46
3 15 18
5 9 14
Penyelesaian:
a. Memfaktorkan 3x2 + 14x + 15.
Langkah-langkah pemfaktoran ax2 + bx + c, a 1
untuk c positif sebagai berikut.
– Jabarkan a c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.
3x2 + 14x + 15; a = 3; b = 14; c = 15
Cara 1
Dengan menggunakan sifat distributif
Dua bilangan yang hasil kalinya
ac = 3 15 = 45 dan jumlahnya 14
adalah 5 dan 9, sehingga
3x2 + 14x + 15 = 3x2 + 5x + 9x + 15
= x(3x + 5) + 3(3x + 5)
= (x + 3) (3x + 5)
Cara 2
Dengan menggunakan rumus
3x2 + 14x + 15 = 1
3
(3x + 5) (3x + 9)
= 1 3 93 5
3
x x
= 1 3 33 5
3
x x
= (x + 3) (3x + 5)
Jadi, 3x2 + 14x + 15 = (x + 3) (x + 5).
b. Memfaktorkan 8x2 + 2x – 3.
Langkah-langkah pemfaktoran ax2 + bx + c, a 1
dengan c negatif sebagai berikut.
– Jabarkan a c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b.
– Bilangan yang bernilai lebih besar sama tandanya
dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih
kecil bertanda sebaliknya.
Faktorkanlah bentuk-bentuk
aljabar berikut.
a. 3x2 + 14x + 15
b. 8x2 + 2x – 3
23 Faktorisasi Suku Aljabar
Cara 1
Dengan menggunakan sifat distributif
Dua bilangan yang hasil kalinya ac
= 8 3 = 24 dan selisihnya 2 adalah
4 dan 6, sehingga
8x2 + 2x – 3
= 8x2 – 4x + 6x – 3
= 4x(2x – 1) + 3(2x – 1)
= (4x + 3) (2x – 1)
Cara 2
Dengan menggunakan rumus
8x2 + 2x – 3 = 18
(8x – 4) (8x + 6)
= 1 1 8 48 6
4 2
x x
= 1
4
(8x – 4) 1
2
(8x + 6)
= 1 42 1 1 24 3
4 2
x x
= (2x – 1) (4x + 3)
Jadi, 8x2 + 2x – 3 = (2x – 1) (4x + 3).
ac = 24 Selisih
1 24 23
2 12 10
3 8 5
4 6 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. 2x2 + 7x + 3 8. 12m2 – 8m + 1 15. 2y2 + 5y – 3
2. 3x2 + 18x + 5 9. 10a2 – 43a + 12 16. 4x2 – 7xy – 2y2
3. 2x2 + 5x + 3 10. 12x2 – 34x + 10 17. 6x2 + 5xy – 6y2
4. 3y2 + 8y + 4 11. 3p2 + 7p – 6 18. 8a2 + 2ab – 15b2
5. 5x2 + 13x + 6 12. 8a2 + 10a – 3 19. 1 + 3m – 18m2
6. 3y2 – 8y + 4 13. 6y2 – 5y – 6 20. 15 – 7x – 2x2
7. 8p2 – 14p + 5 14. 5x2 + 23x – 10
24 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Selesaikan operasi penjumlahan
atau pengurangan
berikut.
1.
2
4 3
9 3
x x
2. 4 5
3 1
x x
Sederhanakan bentuk
aljabar
2
2
21 38 5 .
12 29 15
x x
x x
Penyelesaian:
1. 2
2
2
4 3 4 3( 3)
9 3 ( 3)( 3) ( 3)( 3)
4 3 9
9
3 5
9
x
x x x x x x
x
x
x
x
2.
2
2
4 5 4( 1) 5( 3)
3 1 ( 3)( 1)
4 4 5 15
2 3
19
2 3
x x
x x x x
x x
x x
x
x x
2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar
Perkalian antara dua pecahan dapat dilakukan dengan
mengalikan antara pembilang dengan pembilang dan penyebut
dengan penyebut.
a c a c ac
b d b d bd
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan hasil perkalian
antara dua pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut.
D. OPERASI PADA PECAHAN BENTUK
ALJABAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar
Di kelas VII kalian telah mempelajari operasi penjumlahan
dan pengurangan pada pecahan aljabar dengan penyebut suku satu.
Sama seperti pada pecahan aljabar dengan penyebut suku satu,
pada pecahan aljabar dengan penyebut suku dua dan sama dapat
langsung dijumlah atau dikurangkan pembilangnya.
Adapun pada penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar
dengan penyebut berbeda dapat dilakukan dengan cara
menyamakan penyebutnya terlebih dahulu menjadi kelipatan
persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya.
a c ad bc
b d bd atau a c ad bc
b d bd
25 Faktorisasi Suku Aljabar
Selesaikan operasi perkalian
berikut.
1.
2 25
5 2
a a
a a
2.
2 3
5 1
x x x
x
Penyelesaian:
1.
2
2
25 ( 5)( 5)
5 2 ( 5)( 2)
( 5)
2
5
2
a a a a a
a a a a
a a
a
a a
a
2.
2
2
3 ( 1) 3
5 1 5( 1)
3
5
x x x x x x
x x
x
Pembagian antara dua pecahan aljabar dilakukan dengan
mengubah bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian dengan
cara mengalikan dengan kebalikan pecahan pembagi.
:
a c a d a d ad
b d b c b c bc
Selesaikan pembagian pecahan
aljabar berikut.
1. 2 4 :
3 4
m m m
2.
2 2
2 a b : a b
a a
Penyelesaian:
1. 2
2
: 4 4
3 4 3 4
4
3 ( 4)
4
3( 4)
m m m m
m m
m
m m
m
2.
2 2 2 2 2
2
2
2
:
( )( )
( )
( )
a b a b a b a
a a a a b
a b a ba
a a b
a ba
a ab
Misalkan x .
y
1
Tentukan hasil dari
1 1 .
x y
x y
26 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Sederhanakanlah.
a. 1 3
a ab
b. 2
3
4 3 4
x
x x x
c. 2 3
2 4
x x
d.
2
12 4
81 9
x x
e. 1 2
5 3
x x
f.
2
3 1
25 5
y y
g. 2
2
2
5 2 9 5
x x
x x x
h. 2
2 3
6 6 36
x y xy
x x x
2. Sederhanakanlah.
a. 4
6 3 2
x x
x y x y
b. 2 1
m 1 m 1
c.
3
2
6 12 36
18 12 18
x y xy
x y x y
d. 3 2 3
2
y y y
y y
e.
2 2
2 2
2 5 6 4 4 1
4 2 2 1
x x x x
x x x
3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.
a. 2 4 3 4 :
4
x x x
x
b.
2 2
: 5
13 12 1
a ab
a a a
c.
4 9 : 3 16 5
2 2
x
x x
d.
2x 1 : x 2xy y
x y x y
e. 2 2
2 2
3 17 20 : 3 12 9
2 8 2 3 9
x x x x
x x x x
3. Menyederhanakan Pecahan Aljabar
Pecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebut
pecahan tersebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan, kecuali 1.
Dengan kata lain, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan
memiliki faktor yang sama kecuali 1 maka pecahan tersebut dapat
disederhanakan. Hal ini juga berlaku pada pecahan bentuk aljabar.
Menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan dengan
memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudian
dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang dan penyebut
tersebut.
27 Faktorisasi Suku Aljabar
Sederhanakan pecahanpecahan
aljabar berikut.
1.
3 2 2 2
4
a b ab
ab
2. 2
2
3 10
2 11 5
x x
x x
Penyelesaian:
1.
3 2 2 2 (3 2 )
4 4
3 2
4
a b ab ab a b
ab ab
a b
2.
2
2
3 10 ( 2)( 5)
2 11 5 (2 1)( 5)
2
2 1
x x x x
x x x x
x
x
4. Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Kompleks)
Pecahan bersusun (kompleks) adalah suatu pecahan yang
pembilang atau penyebutnya atau kedua-duanya masih memuat
pecahan. Untuk menyederhanakan pecahan bersusun, dilakukan
dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan KPK
dari penyebut pecahan pada pembilang dan penyebut pecahan pada
penyebut pecahan bersusun.
Sederhanakan pecahanpecahan
berikut.
1.
1 1
1
a b
a b
2. 2 2
x y
y x
x y
Penyelesaian:
1.
1 1
1 1
1
( 1)
b a
a b ab
a b abb
a b b
ab ab
a b
a ab
2.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1
1
x y x y
y x xy
x y x y
x y
xy x y
xy
28 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Sederhanakan pecahan-pecahan
berikut.
a.
2
2
64 49
8 7
x
x
b.
2 2 2
2
b ax
ax b
c.
12 2 6 2
6
pqr p qr
pqr
d. 2
2
5 6
6 8
x x
x x
e.
2
2 2
1
1
x
xy x y
2. Sederhanakan pecahan bersusun berikut.
a.
1 1
1 1
x y
x y
b.
2
4
a
b
a
b
c. 2
2
4
3
2
x
x
x
d. 1 11 1 2 1 2
2 1
x
x
e.
1
x y x y
x y x y
x y
x y
1. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan
pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
2. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar
dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif,
asosiatif, dan distributif dengan memerhatikan suku-suku yang
sejenis.
3. Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan
bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari
bentuk aljabar tersebut.
4. Untuk menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan
dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih
dahulu, kemudian dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang
dan penyebut tersebut.
29 Faktorisasi Suku Aljabar
Setelah mempelajari bab ini, bagaimana pemahaman kalian
mengenai Faktorisasi Suku Aljabar? Jika kalian sudah paham,
coba rangkum kembali materi tersebut dengan kata-katamu sendiri.
Jika ada materi yang belum kamu pahami, catat dan tanyakan
kepada gurumu. Catat pula manfaat apa saja yang dapat kalian
peroleh dari materi ini. Buatlah dalam sebuah laporan dan serahkan
kepada gurumu.
Kerjakan di buku tugasmu.
A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.
1. Pada bentuk aljabar 2x2 + 3xy – y2
terdapat ... variabel.
a. 1 c. 3
b. 2 d. 4
2. Suku dua terdapat pada bentuk aljabar
....
a. 2x2 + 4x – 2
b. 3x2 – y2 + xy – 5
c. 4x2 – y2
d. 2x2
3. Hasil pengurangan a2 – 2a dari
2 – 3a2 adalah ....
a. –4a + 2a + 2 c. 2a2 + 2a – 2
b. 4a2 – 2a – 2 d. a2 – 2a + 2
4. Hasil dari (x – y) (2x + 3y) adalah ....
a. 2x2 – 5xy – 3y2 c. x2 – 5xy – y2
b. 2x2 + xy – 3y2 d. x2 + xy – y2
5. Bentuk sederhana dari
2(x – 3y + xy) – 2xy + 3x adalah ....
a. 4x – xy – 3y c. 4x – 6y + xy
b. 5x – xy – 4y d. 5x – 6y
6. Diketahui ABC siku-siku di C,
dengan AC = (x – 7) cm, BC = (x –
14) cm, dan AB = x cm. Panjang sisi
AC adalah ....
a. 21 cm c. 28 cm
b. 25 cm d. 35 cm
7.
5 2
2 5
x x
x x
= ....
a.
2 2 3 9
2 5
x x
x x
c.
2 2 6 29
2 5
x x
x x
b.
2 2 6 29
2 5
x x
x x
d.
2 2 6 29
2 5
x x
x x
8. Jika
2
3 4 4
5 20
x ax a
x x x x b x c
maka perbandingan (b – c) : a = ....
a. 1 : 3 c. 1 : 4
b. 1 : 2 d. 1 : 6
9. Bentuk sederhana dari
4 9 2
2 3
a
a
= ....
a. 4 – 6a c. 2 + 3a
b. 4 + 6a d. 2 – 3a
10. Bentuk sederhana dari
2
2
4 4 1
4 1
x x
x
= ....
30 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
a.
2 1
2 1
x
x
c.
2
2
x
x
b.
2 1
2 1
x
x
d.
2
2
x
x
11. Bentuk sederhana dari
2
2
3 2
2 12
x x x
x x x
= ....
a.
1
4
x
x
c.
4
1
x
x
b.
4
1
x
x
d.
1
4
x
x
12. Bentuk aljabar 25a2 – 16b2 jika difaktorkan
hasilnya ....
a. (5a – b) (5a – b)
b. (a + 4b) (a – 4b)
c. (5a – 4b) (5a – 4b)
d. (5a – 4b) (5a + 4b)
13. Pemfaktoran x2 – 19x – 20 adalah ....
a. (x – 4) (x + 5) c. (x + 1) (x – 20)
b. (x – 2) (x – 10) d. (x + 2) (x – 10)
14. Pemfaktoran dari 4x2 + 14x – 18
adalah ....
a. (4x – 3) (x + 6)
b. (2x – 3) (2x + 6)
c. (4x – 2) (x + 9)
d. (2x – 2) (2x + 9)
15. Luas sebuah persegi panjang adalah
(2x2 + 3x – 9) cm2 dan panjang sisinya
(4x + 6) cm. Lebar persegi panjang
itu adalah ....
a. 2(x + 3) c. 1
4 (2x – 3)
b.
3
4 (x + 3) d.
1
2 (2x – 3)
B. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Sederhanakanlah.
a. 3x2 xy2 5x2 2xy2 1
b. (2x2y – xy2 + 3) – (x2y + 2xy2 – 7)
c. (2p – 3) – (3p + 7) – (5p – 9) +
(p – 12)
d. –2(m + 3) – 4(2m – 2(m + 5) – 8)
e. 3(6a – (a + b)) + 3(–2(2a + 3b) +
4(a – b))
2. Jabarkan dan sederhanakanlah.
a. (3x – 2) (4x + 5)
b. (x + 8y) (2x – 3y)
c. (9p – 5q)2
d. (8a – 3b) (8a + 3b)
e. (x + 5) (x2 + 6x – 4)
3. Faktorkanlah.
a. x2 + 6x – 16
b. 8x2 – 2xy – 15y2
c. p2 – 16q4
d. 9a2 – 8a – 1
e. 49x2 – 28x + 4
4. Sederhanakanlah.
a.
2x2 y2 x2 2y2
x y
b.
2
2
49
12 28
x
x x
c.
2
2 2
1
1
x
xy x y
d. 2 2
1 1
a 2a 1 a 1
e.
1 1
a b
a b
b a
5. Diketahui suatu segitiga dengan alas
(x + 2) cm dan luasnya (x2 – 4) cm2.
a. Tentukan tinggi segitiga dalam
variabel x.
b. Jika x = 3, tentukan ukuran
segitiga tersebut.
Sebelum berbelanja, kalian pasti
memperkirakan barang apa saja yang akan
dibeli dan berapa jumlah uang yang harus
dibayar. Kalian dapat memperkirakan jumlah
uang yang harus dibayar jika kalian
mengetahui harga dan banyaknya barang
yang akan dibeli. Untuk menghitungnya,
kalian tentu memerlukan cara perkalian atau
menggunakan cara faktorisasi.
FAKTORISASI SUKU
ALJABAR
Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada
bentuk aljabar;
dapat menentukan faktor suku aljabar;
dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya.
1
Kata-Kata Kunci:
penjumlahan bentuk aljabar perpangkatan bentuk aljabar
pengurangan bentuk aljabar faktor suku aljabar
perkalian bentuk aljabar faktorisasi bentuk aljabar
pembagian bentuk aljabar
Sumber: Dok. Penerbit
4 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Tulislah setiap kalimat
berikut dengan menggunakan
variabel sebagai
pengganti bilangan yang
belum diketahui nilainya.
a. Jumlah dua bilangan
ganjil berurutan adalah
20.
b. Suatu bilangan jika
dikalikan 5 kemudian
dikurangi 3, hasilnya
adalah 12.
Penyelesaian:
a. Misalkan bilangan tersebut x dan x + 2, berarti
x + x + 2 = 20.
b. Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12.
A. PENGERTIAN KOEFISIEN, VARIABEL,
KONSTANTA, DAN SUKU
Di kelas VII kalian telah mempelajari mengenai bentukbentuk
aljabar. Coba kalian ingat kembali materi tersebut, agar
kalian dapat memahami bab ini dengan baik. Selain itu, kalian juga
harus menguasai materi tentang KPK dari dua bilangan atau lebih
dan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Perhatikan uraian
berikut.
Bonar dan Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah.
Mereka membeli 5 buku tulis, 2 pensil, dan 3 bolpoin. Jika buku
tulis dinyatakan dengan x, pensil dengan y, dan bolpoin dengan z
maka Bonar dan Cut Mimi membeli 5x + 2y + 3z.
Selanjutnya, bentuk-bentuk 5x + 2y + 3z, 2x2, 4xy2, 5x2 – 1,
dan (x – 1) (x + 3) disebut bentuk-bentuk aljabar. Sebelum
mempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita ingat kembali
istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.
1. Variabel
Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum
diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah.
Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z.
(Berpikir kritis)
Tentukan variabel
pada bentuk aljabar
berikut.
1. 2x – 4 = 0
2. –x2 + y + xy – 1 = 4
3. (3x – 1) (–x + 2) = 0
4. (a – b) (a + b) = 0
5 Faktorisasi Suku Aljabar
Tentukan konstanta pada
bentuk aljabar berikut.
a. 2x2 + 3xy + 7x – y – 8
b. 3 – 4x2 – x
Penyelesaian:
a. Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel,
sehingga konstanta dari 2x2 + 3xy + 7x – y – 8
adalah –8.
b. Konstanta dari 3 – 4x2 – x adalah 3.
3. Koefisien
Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari
suatu suku pada bentuk aljabar.
Tentukan koefisien x pada
bentuk aljabar berikut.
a. 5x2y + 3x
b. 2x2 + 6x – 3
Penyelesaian:
a. Koefisien x dari 5x2y + 3x adalah 3.
b. Koefisien x dari 2x2 + 6x – 3 adalah 6.
4. Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta
pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh
operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x, 4a2, –2ab, ...
b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu
operasi jumlah atau selisih.
Contoh: a2 + 2, x + 2y, 3x2 – 5x, ...
c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua
operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ...
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku
banyak atau polinom.
Nanti, di tingkat yang lebih lanjut kalian akan mempelajari mengenai
suku banyak atau polinom.
2. Konstanta
Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak
memuat variabel disebut konstanta.
(Berpikir kritis)
Sebuah segitiga panjang
alasnya sama dengan
setengah kali
tingginya. Tuliskan luas
dan keliling segitiga
tersebut dalam bentuk
aljabar.
6 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan koefisien-koefisien dari setiap
variabel pada bentuk aljabar berikut.
a. 2x2 – 4y
b. a2 + 3ab – b2 + 1
c. 4x + 2xy + y2
d. 2x – 3
e. p3 – p2q + 4pq2 – 5q3 + 5
2. Tentukan konstanta pada setiap bentuk
aljabar berikut.
a. 3x2 – 4x – 5
b. xy – 2x + y + 1
c. 2x + 4
d. (x + 3)2
e. 2 + x – 5x2
3. Manakah dari bentuk-bentuk aljabar
berikut yang merupakan suku satu, suku
dua, dan suku tiga?
a. 3x + 2
b. 4x 2 5
x x
dengan x 0
c. x2 – x
d. a2 – b2 + (2a2 – 4b + 1)
e. 1 + 2y + x + 5x2 – 3xy
4. Termasuk suku berapakah bentuk aljabar
berikut ini?
a. 2 + 3x + ax2 + 5x4 + 6x5
b. pqr – 1
c. (a + b) + (a – b) + (2a – b) + (a + 2b)
d. 2a 3b + c (dengan c = ab)
e. 5p : q (dengan q =
1
p dan p 0)
5. Tulislah setiap kalimat berikut dengan
menggunakan variabel x.
a. Umur Made dan umur Putri berselisih
lima tahun dan berjumlah tiga belas
tahun.
b. Suatu bilangan jika dikalikan dua
kemudian ditambah tiga, dan
dikuadratkan menghasilkan bilangan
225.
c. Sepuluh kurangnya dari luas suatu
persegi adalah 111 cm2.
d. Sebuah pecahan jika penyebutnya
ditambah tiga dan pembilangnya
dikurangi empat sama dengan 17
.
e. Umur Mira tiga puluh tahun yang lalu
adalah 1
4
umurnya sekarang.
B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Perhatikan uraian berikut ini.
Ujang memiliki 15 kelereng merah dan 9 kelereng putih. Jika
kelereng merah dinyatakan dengan x dan kelereng putih dinyatakan
dengan y maka banyaknya kelereng Ujang adalah 15x + 9y.
7 Faktorisasi Suku Aljabar
Selanjutnya, jika Ujang diberi kakaknya 7 kelereng merah dan 3
kelereng putih maka banyaknya kelereng Ujang sekarang adalah
22x + 12y. Hasil ini diperoleh dari (15x + 9y) + (7x + 3y).
Amatilah bentuk aljabar 3x2 – 2x + 3y + x2 + 5x + 10. Sukusuku
3x2 dan x2 disebut suku-suku sejenis, demikian juga sukusuku
–2x dan 5x. Adapun suku-suku –2x dan 3y merupakan sukusuku
tidak sejenis.
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel
dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
Pemahaman mengenai suku-suku sejenis dan suku-suku tidak
sejenis sangat bermanfaat dalam menyelesaikan operasi
penjumlahan dan pengurangan dari bentuk aljabar. Operasi
penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat
diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan
distributif dengan memerhatikan suku-suku yang sejenis. Coba
kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan dan
pengurangan bilangan bulat. Sifat-sifat tersebut berlaku pada
penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.
1. Tentukan hasil penjumlahan
3x2 – 2x + 5
dengan x2 + 4x – 3.
Penyelesaian:
(3x2 – 2x + 5) + (x2 + 4x – 3)
= 3x2 – 2x + 5 + x2 + 4x – 3
= 3x2 + x2 – 2x + 4x + 5 – 3 kelompokkan sukusuku
sejenis
= (3 + 1)x2 + (–2 + 4)x + (5 – 3) sifat distributif
= 4x2 + 2x + 2
2. Tentukan hasil pengurangan
4y2 – 3y + 2
dari 2(5y2 – 3).
Penyelesaian:
2(5y2 – 3) – (4y2 – 3y + 2)
= 10y2 – 6 – 4y2 + 3y – 2
= (10 – 4)y2 + 3y + (–6 – 2)
= 6y2 + 3y – 8
(Berpikir kritis)
Coba ingat kembali
mengenai sifat
komutatif, asosiatif,
dan distributif pada
bilangan bulat.
Eksplorasilah
penggunaan sifat-sifat
tersebut pada bentuk
aljabar.
Diskusikan hal ini
dengan teman
sebangkumu.
8 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
1. Tentukan koefisien dari x dan y2 pada
bentuk aljabar berikut.
a. 3x + 5y2 – 4x + (–2y2) – 7
b. 2y2 – x + 4 – y2 + 3x – 5
c. 6x – 4y2 + z – 2x + y2 – 3z
d. 3(x – y2 + 2) – 5(2x + 3y2 – 2)
2. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar
berikut.
a. (2x + 8) + (4x – 5 – 5y)
b. (3p + q) + (–2p – 5q + 7)
c. (3x2 + 2x – 1) + (x2 – 5x + 6)
d. 2(x + 2y – xy) + 5(2x – 3y + 5xy)
3. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar
berikut.
a. (2x + 5) – (x – 3)
b. (x2 + 4x – 1) – (2x2 + 4x)
c. (y2 – 3) – (4y2 + 5y + 6)
d. (5a – 6 + ab) – (a + 2ab – 1)
4. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar
berikut.
a. a2 + 2ab – 3b2 – 7a2 – 5ab
b. x2 – x – 6 + 3x2 – xy
c. 3p3 – 2pq2 + p2q – 7p3 + 2p2q
d. –2(p3 – 2pq + q2) + 3(p3 + 4pq –
q2)
2. Perkalian
a. Perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar
Coba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat.
Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac.
Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi
perkalian pada bentuk aljabar.
Perkalian suku dua (ax + b) dengan skalar/bilangan k
dinyatakan sebagai berikut.
k(ax + b) = kax + kb
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Jabarkan bentuk perkalian
berikut.
a. 2(3x – y)
b. 8(–x2 + 3x)
Penyelesaian:
a. 2(3x – y) = 2 3x + 2 (–y)
= 6x – 2y
b. 8(–x2 + 3x) = –8x2 + 24x
2. Selesaikan bentuk perkalian
berikut.
a. 2(–6x)
Penyelesaian:
a. 2(–6x) = 2 (–6) x
= –12x
9 Faktorisasi Suku Aljabar
b.
12 1
3
a
c. (–4x)(–2y)
d. (3a)(–3a)
b. Perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk aljabar
Telah kalian pelajari bahwa perkalian antara bilangan skalar
k dengan suku dua (ax + b) adalah k (ax + b) = kax + kb.
Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk
aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh
sebagai berikut.
(ax + b) (cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)
= ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd
Sifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan
suku tiga.
b. 12 1
3
a
=
12 1
3
a
= –4a
c. (–4x)(–2y) = (–4) (–2) xy
= 8xy
d. (3a)(–3a) = 3 (–3) a2
= –9a2
Panjang sisi miring
sebuah segitiga sikusiku
adalah
(5x – 3) cm, sedangkan
panjang sisi sikusikunya
(3x + 3) cm
dan (4x – 8) cm.
Tentukan keliling dan
luas segitiga tersebut
dalam bentuk aljabar.
(ax + b) (cx2 + dx + e) = ax(cx2) + ax(dx) + ax(e) + b(cx2) + b(dx) + b(e)
= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be
= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be
Selanjutnya, kita akan membahas mengenai hasil perkalian
(ax + b) (ax + b), (ax + b)(ax – b), (ax – b)(ax – b), dan
(ax2 + bx + c)2. Pelajari uraian berikut ini.
a.
2
2
2 2 2
2 2 2 2
ax b ax b ax b
ax ax b b ax b
ax ax ax b b ax b
a x abx abx b
a x abx b
b.
2 2 2
2 2 2
ax b ax b ax ax b b ax b
ax ax ax b b ax b b
a x abx abx b
a x b
(Berpikir kritis)
Dengan memanfaatkan
sifat distributif,
tentukan hasil perkalian
dari bentuk aljabar
(ax2 + bx + c)2.
Diskusikan dengan
temanmu.
10 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
c.
2
2 2 2
2 2 2 2
ax b ax b ax b
ax ax b b ax b
ax ax ax b b ax b b
a x abx abx b
a x abx b
Tentukan hasil perkalian
bentuk aljabar berikut.
1. (x + 2) (x + 3)
2. (2x + 3) (x2 + 2x – 5)
Penyelesaian:
1. Cara (i) dengan sifat distributif
(x + 2) (x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
Cara (ii) dengan skema
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
Cara (iii) dengan peragaan mencari luas persegi panjang
dengan p = x + 3 dan l = x + 2 seperti ditunjukkan pada
Gambar 1.1.
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
2. Cara (i) dengan sifat distributif
(2x + 3) (x2 + 2x – 5)
= 2x(x2 + 2x – 5) + 3(x2 + 2x – 5)
= 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15
= 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 + 7x2 – 4x – 15
x 3
x
2
(x + 2) (x + 3)
(a)
3
x
2
(b)
2 x
3 x
6
x
x2
=
Gambar 1.1
(Berpikir kritis)
Dengan menggunakan
skema, coba jabarkan
bentuk aljabar
(ax + by) (ax + by + z).
11 Faktorisasi Suku Aljabar
Cara (ii) dengan skema
(2x + 3) (x2 + 2x – 5)
= 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15
= 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 + 7x2 – 4x – 15
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar
berikut.
a. 2(x + 4) e. 4a2(–a + 2b)
b. –3(a – 2b) f. 2xy(x – 4)
c. 5(3x + 2y) g. –p2(p2 – 3p)
d. –2a(a + 4b) h. 1
2 (4x – 6y)
2. Jabarkan bentuk perkalian berikut dengan
menggunakan sifat distributif.
a. (2x – 3) (x + 5)
b. (3x – y) (x + y)
c. (5m – 1) (m + 4)
d. (2p + q) (p – 4q)
e. (a – 4) (2a + 3)
f. (a + 3b) (2a – 4b)
g. (–3 – p) (5 + p)
h. (5 + a) (7 – a)
3. Jabarkan bentuk perkalian berikut dengan
menggunakan skema, kemudian
sederhanakan.
a. (2x + 3) (x – 4)
b. (a + 3b) (a – 5b)
c. (5m – 1) (2m + 4)
d. (a – 3) (a2 + 4a + 5)
e. (x + y) (3x2 + xy + 2y2)
f. (3k – 5) (k2 + 2k – 6)
g. (a + ab + b) (a – b)
h. (x2 + 3x – 5) (x2 – 2x – 1)
4. Tentukan hasil perkalian berikut.
a. ab(a + 2b – c)
b. 5xy(x – 3y + 5)
c. 2xy(x – 3y)
d. 5a(3ab – 2ac)
e. 3y(4xy – 4yz)
3. Perpangkatan Bentuk Aljabar
Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan
bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian
berulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat
a, berlaku
n ...
sebanyak n kali
a aaa a
Sekarang kalian akan mempelajari operasi perpangkatan pada
bentuk aljabar.
12 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
(a + b)1 = a + b
koefisien a dan b adalah 1 1
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
koefisien a2, ab, dan b2 adalah 1 2 1
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
koefisien a3, a2b, ab2 dan b3 adalah 1 3 3 1
(a + b)4 = (a + b)2 (a + b)2
= (a2 + 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2)
= a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2ab3 + a2b2 + 2ab3 + b4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
koefisien a4, a3b, a2b2, ab3, dan b4 adalah 1 4 6 4 1
Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan
perbedaan antara 3x2, (3x)2, –(3x)2, dan (–3x)2 sebagai berikut.
a. 3x2 = 3 x x
= 3x2
b. (3x)2 = (3x) (3x)
= 9x2
c. –(3x)2 = –((3x) (3x))
= –9x2
d. (–3x)2 = (–3x) (–3x)
= 9x2
Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku
dua, perhatikan uraian berikut.
Demikian seterusnya untuk (a + b)n dengan n bilangan asli.
Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien
(a + b)n membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.
13 Faktorisasi Suku Aljabar
(a + b)0 1
(a + b)1 1 1
(a + b)2 1 2 1
(a + b)3 1 3 3 1
(a + b)4 1 4 6 4 1
(a + b)5 1 5 10 10 5 1
(a + b)6 1 6 15 20 15 6 1
(a + b)7 ................
Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an
kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku
ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1
pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn
pada suku ke-(n + 1).
Perhatikan contoh berikut.
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
Tentukan hasil perpangkatan
bentuk aljabar berikut.
a. (2x + 3)4
b. (x + 4y)3
Penyelesaian:
a. (2x + 3)4
= 1(2x)4 + 4(2x)3(3) + 6(2x)2(32) + 4(2x)1(33) + 1(34)
= 1(16x4) + 4(8x3)(3) + 6(4x2)(9) + 4(2x)(27) + 1(81)
= 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81
b. (x + 4y)3
= 1(x3) + 3(x2)(4y)1 + 3x (4y)2 + 1(4y)3
= 1x3 + 3x2(4y) + 3x(16y2) + 1(64y3)
= x3 + 12x2y + 48xy2 + 64y3
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan hasil perpangkatan bentuk
aljabar berikut.
a. (5a)3 c. (–3x)3
b. (2xy)2 d. (4p2q)2
(Berpikir kritis)
Berdasarkan konsep
segitiga Pascal, coba
jabarkan bentuk
aljabar (a + b)n untuk
7 n 10.
Bandingkan hasilnya
dengan teman
sebangkumu. Apakah
jawabanmu sudah
tepat?
14 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
e. (–5xy3)4 g. –(3pq)4
f. –(2abc)3 h. a(ab2)3
2. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar
berikut.
a. (x + 4)3 e. (3m – 2n)4
b. (a – 5)4 f. (4a – 3b)3
c. (2x + y)3 g. (2y2 + y)3
d. (3p + q)4 h. (3a – 2)5
3. Tentukan koefisien (a + b)n pada suku
yang diberikan.
a. Suku ke-3 pada (3a + 4)4.
b. Suku ke-2 pada (x + 3y)3.
c. Suku ke-2 pada (a – 2b)4.
d. Suku ke-4 pada (–2x + 5y)5.
e. Suku ke-5 pada (2m – 3)5.
4. Jabarkan bentuk aljabar berikut,
kemudian sederhanakan.
a. (2x – 1)2
b. (3 + 5x)2
c. (2x + y)2 + (x + 2y + 1)
d. (3x + 1)2 – (3x – 1)2
e. (3x + 2)2 + (2x + 1)(1 – 2x)
4. Pembagian
Kalian telah mempelajari penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar. Sekarang kalian
akan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.
Telah kalian pelajari bahwa jika suatu bilangan a dapat diubah
menjadi a = p q dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan q
disebut faktor-faktor dari a. Hal tersebut berlaku pula pada bentuk
aljabar.
Perhatikan uraian berikut.
2 2 2 2
3 2 3 2
2 2
x yz x y z
x y z x y z
Pada bentuk aljabar di atas, 2, x2, y, dan z2 adalah faktorfaktor
dari 2x2yz2, sedangkan x3, y2, dan z adalah faktor-faktor
dari bentuk aljabar x3y2z.
Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 2x2yz2 dan x3y2z adalah
x2, y, dan z, sehingga diperoleh
2 2 2
3 2
2
x yz x yz
x y z
2
2z
x yz
2
xy
z
xy
Berdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jika
dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil
bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang
lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk
aljabar kalian harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutu
kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.
15 Faktorisasi Suku Aljabar
Sederhanakan bentuk
aljabar berikut.
1. 5xy : 2x
2. 6x3 : 3x2
3. 8a2b3 : 2ab
4. (p2q pq) : p2q2
Penyelesaian:
1. 5 : 2 5 5 5
2 2 2
xy x xy y x y faktor sekutu x
x x
2.
3 2
3 2 2
2 2
6 :3 6 3 2 2 3
3 3
x x x x x x faktor sekutu x
x x
3.
2 3 2
2 3
2
8 : 2 8 2 4
2 2
4 2
a b ab a b ab ab
ab ab
ab faktor sekutu ab
4. 2 32
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
:
p q pq p q p q pq p q
p q p q
p q p p
p q
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Sederhanakan bentuk aljabar berikut.
1. 6xy : 2y
2. 10a2b4c3 : 2abc
3. p4q6r5 : pq2r3
4. 6x3y7 : 2xy : 3y
5. 18a3b5c6 : 2ab2 : 3a2c2
C. PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR
Di kelas VII kalian telah mempelajari materi mengenai KPK
dan FPB. Pada materi tersebut kalian telah mempelajari cara
menentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Coba ingat
kembali cara menentukan faktor dari suatu bilangan. Perhatikan
uraian berikut.
48 = 1 48
= 24 3
Bilangan 1, 24, 3, dan 48 adalah faktor-faktor dari 48.
6. 20a4b5c7 : (4a2b2c3 : 2abc)
7. 21p4q5r3 : (8p2qr3 : 2pqr)
8. 3x2y 2yz2 : xyz
9. 30x6y9 : (5x4y2 2xy3)
10. 32x4yz6 : 2xyz 4xy2z3
16 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Bilangan 2 dan 3 adalah faktor prima dari 48.
Jadi, bentuk perkalian 24 3 merupakan faktorisasi prima
dari 48.
Ingat kembali bahwa faktorisasi prima dari suatu bilangan
adalah perkalian faktor-faktor prima dari bilangan tersebut.
Di bagian depan telah kalian pelajari bahwa sifat distributif
a(x + y) dapat dinyatakan sebagai berikut.
ax + ay = a(x + y)
bentuk
penjumlahan
bentuk
perkalian
dengan , , dan adalah
bilangan real.
a x y
Dari bentuk di atas, tampak bahwa bentuk penjumlahan dapat
dinyatakan sebagai bentuk perkalian jika suku-suku dalam bentuk
penjumlahan tersebut memiliki faktor yang sama. Dari bentuk
ax + ay = a(x + y), a dan (x + y) merupakan faktor-faktor dari
ax + ay.
Proses menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk
perkalian faktor-faktornya disebut pemfaktoran atau faktorisasi.
Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah
menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian
dari bentuk aljabar tersebut.
Sekarang, kalian akan mempelajari faktorisasi dari beberapa
bentuk aljabar. Perhatikan uraian berikut.
1. Bentuk ax + ay + az + ... dan ax + bx – cx
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih dan
memiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakan
sifat distributif.
ax + ay + az + ... = a(x + y + z + ...)
ax + bx – cx = x(a + b – c)
Faktorkanlah bentuk-bentuk
aljabar berikut.
a. 2x + 2y
b. x2 + 3x
c. a2 + ab
d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr
Penyelesaian:
a. 2x + 2y memiliki faktor sekutu 2, sehingga
2x + 2y = 2(x + y).
b. x2 + 3x memiliki faktor sekutu x, sehingga
x2 + 3x = x(x + 3).
c. a2 + ab memiliki faktor sekutu a, sehingga
a2 + ab = a(a + b).
17 Faktorisasi Suku Aljabar
Faktorkanlah bentuk aljabar
berikut.
a. x2 – 4
b. a2 – 9b2
c. 4p2 – 36
d. 9x2 – 25y2
Penyelesaian:
a. x2 – 4 = x2 – 22
= (x – 2) (x + 2)
b. a2 – 9b2 = a2 – (3b)2
= (a – 3b) (a + 3b)
c. 4p2 – 36 = (2p)2 – 62
= (2p – 6) (2p + 6)
d. 9x2 – 25y2 = (3x)2 – (5y)2
= (3x – 5y) (3x + 5y)
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. 3x – 3y 6. 3p2 – 12 11. x2 – 25 16. 64a2 – 9
2. 2x + 6 7. ab + bc 12. 9m2 – 16 17. 8a2 – 2b2
3. x3 + xy2 8. 8pq + 24pqr 13. 1 – x2 18. 25p2 – 16q2
4. ap2 + 2ap 9. x4 – 3x2 + x 14. 49 – p2 19. 36x2 – 81y2
5. 4x2y – 6xy3 10. 15x2 – 18xy + 9xz 15. 9x2 – 16 20. 81p2 – 100q2
d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr memiliki faktor sekutu pqr,
sehingga
pq2r3 + 2p2qr + 3pqr = pqr(qr2 + 2p + 3).
2. Bentuk Selisih Dua Kuadrat x2 – y2
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku dan merupakan
selisih dua kuadrat dapat dijabarkan sebagai berikut.
2 2 2 2
2 2
x y x xy xy y
x xy xy y
x x y y x y
x y x y
Dengan demikian, bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2 dapat
dinyatakan sebagai berikut.
x2 y2 x yx y
18 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
3. Bentuk x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy + y2
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar x2 + 2xy + y2 dan
x2 – 2xy + y2 perhatikan uraian berikut.
a.
2 2 2 2
2 2
2
2
x xy y x xy xy y
x xy xy y
x x y y x y
x y x y
x y
b.
2 2 2 2
2 2
2
2
x xy y x xy xy y
x xy xy y
x x y y x y
x y x y
x y
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
x2 + 2xy + y2 = (x + y) (x + y) = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y) = (x – y)2
Faktorkanlah bentuk-bentuk
berikut.
a. p2 + 2pq + q2
b. x2 – 4x + 4
Penyelesaian:
a.
2 2 2 2
2 2
2
2
p pq q p pq pq q
p pq pq q
p p q q p q
p q p q
p q
b.
2 2
2
2
4 4 2 2 4
2 2 4
2 2 2
2 2
2
x x x x x
x x x
x x x
x x
x
4. Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Pada pembahasan di depan telah kalian pelajari mengenai
perkalian antara suku dua dan suku dua sebagai berikut.
19 Faktorisasi Suku Aljabar
1. Faktorkanlah bentuk
aljabar berikut.
a. x2 + 4x + 3
b. x2 – 13x + 12
Penyelesaian:
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c
dengan c positif sebagai berikut.
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.
a. x2 + 4x + 3 = (x + 1) (x + 3)
b. x2 – 13x + 12 = (x – 1) (x – 12)
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6 ........... (dihasilkan suku tiga)
Sebaliknya, bentuk suku tiga x2 + 5x + 6 apabila difaktorkan
menjadi
x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
5 = 2 + 3 6 = 2 3 2 3 = 6
2 + 3 = 5
Perhatikan bahwa bentuk aljabar x2 + 5x + 6 memenuhi bentuk
x2 + bx + c.
Berdasarkan pengerjaan di atas, ternyata untuk memfaktorkan
bentuk x2 + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua bilangan
real yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama dengan
b.
Misalkan x2 + bx + c sama dengan (x + m) (x + n).
x2 + bx + c = (x + m) (x + n)
= x2 + mx + nx + mn
= x2 + (m + n)x + mn
x2 + bx + c = x2 + (m + n)x + mn
x2 + bx + c = (x + m) (x + n) dengan m n = c dan
m + n = b
3 Jumlah
1 3 4
12 Jumlah
1 12 13
2 6 8
3 4 7
20 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Penyelesaian:
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar
x2 + bx + c untuk c negatif sebagai berikut.
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b.
– Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan
b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda
sebaliknya.
a. x2 + 4x – 12 = (x – 2) (x + 6)
b. x2 – 15x – 16 = (x + 1) (x – 16)
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. x2 – 6x + 8 6. m2 + 8m + 16 11. x2 – 6x + 9 16. t2 – 3t – 18
2. x2 + 9x + 20 7. p2 – 8p + 12 12. x2 – 2xy + y2 17. b2 – 2b – 8
3. x2 + 7x + 12 8. b2 + 6b + 9 13. a2 – 2a – 15 18. p2 + 8p – 33
4. p2 – 5p + 4 9. p2 – 4p + 4 14. m2 + 2m + 1 19. n2 + 2n – 8
5. a2 + 8a + 12 10. x2 – 8x + 16 15. a2 + 5a – 24 20. y2 + 3y – 40
12 Selisih
1 12 11
2 6 4
3 4 1
16 Selisih
1 16 15
2 8 6
4 4 0
5. Bentuk ax2 + bx + c dengan a 1, a 0
Kalian telah mempelajari perkalian antara suku dua dengan
suku dua menjadi bentuk penjumlahan seperti berikut.
(3x + 2) (4x + 3) = 12x2 + 9x + 8x + 6
= 12x2 + 17x + 6
Perhatikan bahwa (9 + 8) = 17 dan 9 8 = 12 6.
12 6 = 72
9 8 = 72
9 8 = 17
2. Faktorkanlah bentuk
aljabar berikut.
a. x2 + 4x – 12
b. x2 – 15x – 16
21 Faktorisasi Suku Aljabar
Berdasarkan uraian di atas dapat dikatakan bahwa bentuk
ax2 + bx + c dengan a 1, a 0 dapat difaktorkan dengan cara
berikut.
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c
dengan p q = a c
p + q = b
Selain dengan menggunakan sifat distributif, terdapat rumus
yang dapat digunakan untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 +
bx + c dengan a 1. Perhatikan uraian berikut.
Misalkan ax2 + bx + c = 1a
(ax + m) (ax + n).
ax2 + bx + c
ax m ax n
a
aax2 bx c a2x2 amx anx mn
a2x2 + abx + ac = a2x2 + a(m + n)x + mn
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa m n = a c dan
m + n = b.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa ada dua cara
untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 + bx + c dengan a 1
sebagai berikut.
a. Menggunakan sifat distributif
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c dengan
p q = a c dan
p + q = b
b. Menggunakan rumus
ax2 + bx + c = 1a
(ax + m) (ax + n) dengan
m n = a c dan
m + n = b
22 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
ac = 45 Jumlah
1 45 46
3 15 18
5 9 14
Penyelesaian:
a. Memfaktorkan 3x2 + 14x + 15.
Langkah-langkah pemfaktoran ax2 + bx + c, a 1
untuk c positif sebagai berikut.
– Jabarkan a c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.
3x2 + 14x + 15; a = 3; b = 14; c = 15
Cara 1
Dengan menggunakan sifat distributif
Dua bilangan yang hasil kalinya
ac = 3 15 = 45 dan jumlahnya 14
adalah 5 dan 9, sehingga
3x2 + 14x + 15 = 3x2 + 5x + 9x + 15
= x(3x + 5) + 3(3x + 5)
= (x + 3) (3x + 5)
Cara 2
Dengan menggunakan rumus
3x2 + 14x + 15 = 1
3
(3x + 5) (3x + 9)
= 1 3 93 5
3
x x
= 1 3 33 5
3
x x
= (x + 3) (3x + 5)
Jadi, 3x2 + 14x + 15 = (x + 3) (x + 5).
b. Memfaktorkan 8x2 + 2x – 3.
Langkah-langkah pemfaktoran ax2 + bx + c, a 1
dengan c negatif sebagai berikut.
– Jabarkan a c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b.
– Bilangan yang bernilai lebih besar sama tandanya
dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih
kecil bertanda sebaliknya.
Faktorkanlah bentuk-bentuk
aljabar berikut.
a. 3x2 + 14x + 15
b. 8x2 + 2x – 3
23 Faktorisasi Suku Aljabar
Cara 1
Dengan menggunakan sifat distributif
Dua bilangan yang hasil kalinya ac
= 8 3 = 24 dan selisihnya 2 adalah
4 dan 6, sehingga
8x2 + 2x – 3
= 8x2 – 4x + 6x – 3
= 4x(2x – 1) + 3(2x – 1)
= (4x + 3) (2x – 1)
Cara 2
Dengan menggunakan rumus
8x2 + 2x – 3 = 18
(8x – 4) (8x + 6)
= 1 1 8 48 6
4 2
x x
= 1
4
(8x – 4) 1
2
(8x + 6)
= 1 42 1 1 24 3
4 2
x x
= (2x – 1) (4x + 3)
Jadi, 8x2 + 2x – 3 = (2x – 1) (4x + 3).
ac = 24 Selisih
1 24 23
2 12 10
3 8 5
4 6 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. 2x2 + 7x + 3 8. 12m2 – 8m + 1 15. 2y2 + 5y – 3
2. 3x2 + 18x + 5 9. 10a2 – 43a + 12 16. 4x2 – 7xy – 2y2
3. 2x2 + 5x + 3 10. 12x2 – 34x + 10 17. 6x2 + 5xy – 6y2
4. 3y2 + 8y + 4 11. 3p2 + 7p – 6 18. 8a2 + 2ab – 15b2
5. 5x2 + 13x + 6 12. 8a2 + 10a – 3 19. 1 + 3m – 18m2
6. 3y2 – 8y + 4 13. 6y2 – 5y – 6 20. 15 – 7x – 2x2
7. 8p2 – 14p + 5 14. 5x2 + 23x – 10
24 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Selesaikan operasi penjumlahan
atau pengurangan
berikut.
1.
2
4 3
9 3
x x
2. 4 5
3 1
x x
Sederhanakan bentuk
aljabar
2
2
21 38 5 .
12 29 15
x x
x x
Penyelesaian:
1. 2
2
2
4 3 4 3( 3)
9 3 ( 3)( 3) ( 3)( 3)
4 3 9
9
3 5
9
x
x x x x x x
x
x
x
x
2.
2
2
4 5 4( 1) 5( 3)
3 1 ( 3)( 1)
4 4 5 15
2 3
19
2 3
x x
x x x x
x x
x x
x
x x
2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar
Perkalian antara dua pecahan dapat dilakukan dengan
mengalikan antara pembilang dengan pembilang dan penyebut
dengan penyebut.
a c a c ac
b d b d bd
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan hasil perkalian
antara dua pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut.
D. OPERASI PADA PECAHAN BENTUK
ALJABAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar
Di kelas VII kalian telah mempelajari operasi penjumlahan
dan pengurangan pada pecahan aljabar dengan penyebut suku satu.
Sama seperti pada pecahan aljabar dengan penyebut suku satu,
pada pecahan aljabar dengan penyebut suku dua dan sama dapat
langsung dijumlah atau dikurangkan pembilangnya.
Adapun pada penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar
dengan penyebut berbeda dapat dilakukan dengan cara
menyamakan penyebutnya terlebih dahulu menjadi kelipatan
persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya.
a c ad bc
b d bd atau a c ad bc
b d bd
25 Faktorisasi Suku Aljabar
Selesaikan operasi perkalian
berikut.
1.
2 25
5 2
a a
a a
2.
2 3
5 1
x x x
x
Penyelesaian:
1.
2
2
25 ( 5)( 5)
5 2 ( 5)( 2)
( 5)
2
5
2
a a a a a
a a a a
a a
a
a a
a
2.
2
2
3 ( 1) 3
5 1 5( 1)
3
5
x x x x x x
x x
x
Pembagian antara dua pecahan aljabar dilakukan dengan
mengubah bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian dengan
cara mengalikan dengan kebalikan pecahan pembagi.
:
a c a d a d ad
b d b c b c bc
Selesaikan pembagian pecahan
aljabar berikut.
1. 2 4 :
3 4
m m m
2.
2 2
2 a b : a b
a a
Penyelesaian:
1. 2
2
: 4 4
3 4 3 4
4
3 ( 4)
4
3( 4)
m m m m
m m
m
m m
m
2.
2 2 2 2 2
2
2
2
:
( )( )
( )
( )
a b a b a b a
a a a a b
a b a ba
a a b
a ba
a ab
Misalkan x .
y
1
Tentukan hasil dari
1 1 .
x y
x y
26 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Sederhanakanlah.
a. 1 3
a ab
b. 2
3
4 3 4
x
x x x
c. 2 3
2 4
x x
d.
2
12 4
81 9
x x
e. 1 2
5 3
x x
f.
2
3 1
25 5
y y
g. 2
2
2
5 2 9 5
x x
x x x
h. 2
2 3
6 6 36
x y xy
x x x
2. Sederhanakanlah.
a. 4
6 3 2
x x
x y x y
b. 2 1
m 1 m 1
c.
3
2
6 12 36
18 12 18
x y xy
x y x y
d. 3 2 3
2
y y y
y y
e.
2 2
2 2
2 5 6 4 4 1
4 2 2 1
x x x x
x x x
3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.
a. 2 4 3 4 :
4
x x x
x
b.
2 2
: 5
13 12 1
a ab
a a a
c.
4 9 : 3 16 5
2 2
x
x x
d.
2x 1 : x 2xy y
x y x y
e. 2 2
2 2
3 17 20 : 3 12 9
2 8 2 3 9
x x x x
x x x x
3. Menyederhanakan Pecahan Aljabar
Pecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebut
pecahan tersebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan, kecuali 1.
Dengan kata lain, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan
memiliki faktor yang sama kecuali 1 maka pecahan tersebut dapat
disederhanakan. Hal ini juga berlaku pada pecahan bentuk aljabar.
Menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan dengan
memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudian
dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang dan penyebut
tersebut.
27 Faktorisasi Suku Aljabar
Sederhanakan pecahanpecahan
aljabar berikut.
1.
3 2 2 2
4
a b ab
ab
2. 2
2
3 10
2 11 5
x x
x x
Penyelesaian:
1.
3 2 2 2 (3 2 )
4 4
3 2
4
a b ab ab a b
ab ab
a b
2.
2
2
3 10 ( 2)( 5)
2 11 5 (2 1)( 5)
2
2 1
x x x x
x x x x
x
x
4. Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Kompleks)
Pecahan bersusun (kompleks) adalah suatu pecahan yang
pembilang atau penyebutnya atau kedua-duanya masih memuat
pecahan. Untuk menyederhanakan pecahan bersusun, dilakukan
dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan KPK
dari penyebut pecahan pada pembilang dan penyebut pecahan pada
penyebut pecahan bersusun.
Sederhanakan pecahanpecahan
berikut.
1.
1 1
1
a b
a b
2. 2 2
x y
y x
x y
Penyelesaian:
1.
1 1
1 1
1
( 1)
b a
a b ab
a b abb
a b b
ab ab
a b
a ab
2.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1
1
x y x y
y x xy
x y x y
x y
xy x y
xy
28 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Sederhanakan pecahan-pecahan
berikut.
a.
2
2
64 49
8 7
x
x
b.
2 2 2
2
b ax
ax b
c.
12 2 6 2
6
pqr p qr
pqr
d. 2
2
5 6
6 8
x x
x x
e.
2
2 2
1
1
x
xy x y
2. Sederhanakan pecahan bersusun berikut.
a.
1 1
1 1
x y
x y
b.
2
4
a
b
a
b
c. 2
2
4
3
2
x
x
x
d. 1 11 1 2 1 2
2 1
x
x
e.
1
x y x y
x y x y
x y
x y
1. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan
pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
2. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar
dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif,
asosiatif, dan distributif dengan memerhatikan suku-suku yang
sejenis.
3. Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan
bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari
bentuk aljabar tersebut.
4. Untuk menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan
dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih
dahulu, kemudian dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang
dan penyebut tersebut.
29 Faktorisasi Suku Aljabar
Setelah mempelajari bab ini, bagaimana pemahaman kalian
mengenai Faktorisasi Suku Aljabar? Jika kalian sudah paham,
coba rangkum kembali materi tersebut dengan kata-katamu sendiri.
Jika ada materi yang belum kamu pahami, catat dan tanyakan
kepada gurumu. Catat pula manfaat apa saja yang dapat kalian
peroleh dari materi ini. Buatlah dalam sebuah laporan dan serahkan
kepada gurumu.
Kerjakan di buku tugasmu.
A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.
1. Pada bentuk aljabar 2x2 + 3xy – y2
terdapat ... variabel.
a. 1 c. 3
b. 2 d. 4
2. Suku dua terdapat pada bentuk aljabar
....
a. 2x2 + 4x – 2
b. 3x2 – y2 + xy – 5
c. 4x2 – y2
d. 2x2
3. Hasil pengurangan a2 – 2a dari
2 – 3a2 adalah ....
a. –4a + 2a + 2 c. 2a2 + 2a – 2
b. 4a2 – 2a – 2 d. a2 – 2a + 2
4. Hasil dari (x – y) (2x + 3y) adalah ....
a. 2x2 – 5xy – 3y2 c. x2 – 5xy – y2
b. 2x2 + xy – 3y2 d. x2 + xy – y2
5. Bentuk sederhana dari
2(x – 3y + xy) – 2xy + 3x adalah ....
a. 4x – xy – 3y c. 4x – 6y + xy
b. 5x – xy – 4y d. 5x – 6y
6. Diketahui ABC siku-siku di C,
dengan AC = (x – 7) cm, BC = (x –
14) cm, dan AB = x cm. Panjang sisi
AC adalah ....
a. 21 cm c. 28 cm
b. 25 cm d. 35 cm
7.
5 2
2 5
x x
x x
= ....
a.
2 2 3 9
2 5
x x
x x
c.
2 2 6 29
2 5
x x
x x
b.
2 2 6 29
2 5
x x
x x
d.
2 2 6 29
2 5
x x
x x
8. Jika
2
3 4 4
5 20
x ax a
x x x x b x c
maka perbandingan (b – c) : a = ....
a. 1 : 3 c. 1 : 4
b. 1 : 2 d. 1 : 6
9. Bentuk sederhana dari
4 9 2
2 3
a
a
= ....
a. 4 – 6a c. 2 + 3a
b. 4 + 6a d. 2 – 3a
10. Bentuk sederhana dari
2
2
4 4 1
4 1
x x
x
= ....
30 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
a.
2 1
2 1
x
x
c.
2
2
x
x
b.
2 1
2 1
x
x
d.
2
2
x
x
11. Bentuk sederhana dari
2
2
3 2
2 12
x x x
x x x
= ....
a.
1
4
x
x
c.
4
1
x
x
b.
4
1
x
x
d.
1
4
x
x
12. Bentuk aljabar 25a2 – 16b2 jika difaktorkan
hasilnya ....
a. (5a – b) (5a – b)
b. (a + 4b) (a – 4b)
c. (5a – 4b) (5a – 4b)
d. (5a – 4b) (5a + 4b)
13. Pemfaktoran x2 – 19x – 20 adalah ....
a. (x – 4) (x + 5) c. (x + 1) (x – 20)
b. (x – 2) (x – 10) d. (x + 2) (x – 10)
14. Pemfaktoran dari 4x2 + 14x – 18
adalah ....
a. (4x – 3) (x + 6)
b. (2x – 3) (2x + 6)
c. (4x – 2) (x + 9)
d. (2x – 2) (2x + 9)
15. Luas sebuah persegi panjang adalah
(2x2 + 3x – 9) cm2 dan panjang sisinya
(4x + 6) cm. Lebar persegi panjang
itu adalah ....
a. 2(x + 3) c. 1
4 (2x – 3)
b.
3
4 (x + 3) d.
1
2 (2x – 3)
B. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Sederhanakanlah.
a. 3x2 xy2 5x2 2xy2 1
b. (2x2y – xy2 + 3) – (x2y + 2xy2 – 7)
c. (2p – 3) – (3p + 7) – (5p – 9) +
(p – 12)
d. –2(m + 3) – 4(2m – 2(m + 5) – 8)
e. 3(6a – (a + b)) + 3(–2(2a + 3b) +
4(a – b))
2. Jabarkan dan sederhanakanlah.
a. (3x – 2) (4x + 5)
b. (x + 8y) (2x – 3y)
c. (9p – 5q)2
d. (8a – 3b) (8a + 3b)
e. (x + 5) (x2 + 6x – 4)
3. Faktorkanlah.
a. x2 + 6x – 16
b. 8x2 – 2xy – 15y2
c. p2 – 16q4
d. 9a2 – 8a – 1
e. 49x2 – 28x + 4
4. Sederhanakanlah.
a.
2x2 y2 x2 2y2
x y
b.
2
2
49
12 28
x
x x
c.
2
2 2
1
1
x
xy x y
d. 2 2
1 1
a 2a 1 a 1
e.
1 1
a b
a b
b a
5. Diketahui suatu segitiga dengan alas
(x + 2) cm dan luasnya (x2 – 4) cm2.
a. Tentukan tinggi segitiga dalam
variabel x.
b. Jika x = 3, tentukan ukuran
segitiga tersebut.
