FAKTORISASI SUKU ALJABAR  

Posted by M Riyadh Rizqullah in

Pernahkah kalian berbelanja di supermarket?
Sebelum berbelanja, kalian pasti
memperkirakan barang apa saja yang akan
dibeli dan berapa jumlah uang yang harus
dibayar. Kalian dapat memperkirakan jumlah
uang yang harus dibayar jika kalian
mengetahui harga dan banyaknya barang
yang akan dibeli. Untuk menghitungnya,
kalian tentu memerlukan cara perkalian atau
menggunakan cara faktorisasi.
FAKTORISASI SUKU
ALJABAR
Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
􀂙 dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada
bentuk aljabar;
􀂙 dapat menentukan faktor suku aljabar;
􀂙 dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya.
1
Kata-Kata Kunci:
􀂙 penjumlahan bentuk aljabar 􀂙 perpangkatan bentuk aljabar
􀂙 pengurangan bentuk aljabar 􀂙 faktor suku aljabar
􀂙 perkalian bentuk aljabar 􀂙 faktorisasi bentuk aljabar
􀂙 pembagian bentuk aljabar
Sumber: Dok. Penerbit
4 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Tulislah setiap kalimat
berikut dengan menggunakan
variabel sebagai
pengganti bilangan yang
belum diketahui nilainya.
a. Jumlah dua bilangan
ganjil berurutan adalah
20.
b. Suatu bilangan jika
dikalikan 5 kemudian
dikurangi 3, hasilnya
adalah 12.
Penyelesaian:
a. Misalkan bilangan tersebut x dan x + 2, berarti
x + x + 2 = 20.
b. Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12.
A. PENGERTIAN KOEFISIEN, VARIABEL,
KONSTANTA, DAN SUKU
Di kelas VII kalian telah mempelajari mengenai bentukbentuk
aljabar. Coba kalian ingat kembali materi tersebut, agar
kalian dapat memahami bab ini dengan baik. Selain itu, kalian juga
harus menguasai materi tentang KPK dari dua bilangan atau lebih
dan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Perhatikan uraian
berikut.
Bonar dan Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah.
Mereka membeli 5 buku tulis, 2 pensil, dan 3 bolpoin. Jika buku
tulis dinyatakan dengan x, pensil dengan y, dan bolpoin dengan z
maka Bonar dan Cut Mimi membeli 5x + 2y + 3z.
Selanjutnya, bentuk-bentuk 5x + 2y + 3z, 2x2, 4xy2, 5x2 – 1,
dan (x – 1) (x + 3) disebut bentuk-bentuk aljabar. Sebelum
mempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita ingat kembali
istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.
1. Variabel
Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum
diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah.
Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z.
(Berpikir kritis)
Tentukan variabel
pada bentuk aljabar
berikut.
1. 2x – 4 = 0
2. –x2 + y + xy – 1 = 4
3. (3x – 1) (–x + 2) = 0
4. (a – b) (a + b) = 0
5 Faktorisasi Suku Aljabar
Tentukan konstanta pada
bentuk aljabar berikut.
a. 2x2 + 3xy + 7x – y – 8
b. 3 – 4x2 – x
Penyelesaian:
a. Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel,
sehingga konstanta dari 2x2 + 3xy + 7x – y – 8
adalah –8.
b. Konstanta dari 3 – 4x2 – x adalah 3.
3. Koefisien
Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari
suatu suku pada bentuk aljabar.
Tentukan koefisien x pada
bentuk aljabar berikut.
a. 5x2y + 3x
b. 2x2 + 6x – 3
Penyelesaian:
a. Koefisien x dari 5x2y + 3x adalah 3.
b. Koefisien x dari 2x2 + 6x – 3 adalah 6.
4. Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta
pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh
operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x, 4a2, –2ab, ...
b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu
operasi jumlah atau selisih.
Contoh: a2 + 2, x + 2y, 3x2 – 5x, ...
c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua
operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ...
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku
banyak atau polinom.
Nanti, di tingkat yang lebih lanjut kalian akan mempelajari mengenai
suku banyak atau polinom.
2. Konstanta
Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak
memuat variabel disebut konstanta.
(Berpikir kritis)
Sebuah segitiga panjang
alasnya sama dengan
setengah kali
tingginya. Tuliskan luas
dan keliling segitiga
tersebut dalam bentuk
aljabar.
6 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan koefisien-koefisien dari setiap
variabel pada bentuk aljabar berikut.
a. 2x2 – 4y
b. a2 + 3ab – b2 + 1
c. 4x + 2xy + y2
d. 2x – 3
e. p3 – p2q + 4pq2 – 5q3 + 5
2. Tentukan konstanta pada setiap bentuk
aljabar berikut.
a. 3x2 – 4x – 5
b. xy – 2x + y + 1
c. 2x + 4
d. (x + 3)2
e. 2 + x – 5x2
3. Manakah dari bentuk-bentuk aljabar
berikut yang merupakan suku satu, suku
dua, dan suku tiga?
a. 3x + 2
b. 4x 2 5
x x
􀂧 􀀐 􀂷 􀂨􀂩 􀂸􀂹
dengan x 􀁺 0
c. x2 – x
d. a2 – b2 + (2a2 – 4b + 1)
e. 1 + 2y + x + 5x2 – 3xy
4. Termasuk suku berapakah bentuk aljabar
berikut ini?
a. 2 + 3x + ax2 + 5x4 + 6x5
b. pqr – 1
c. (a + b) + (a – b) + (2a – b) + (a + 2b)
d. 2a 􀁵 3b + c (dengan c = ab)
e. 5p : q (dengan q =
1
p dan p 􀁺 0)
5. Tulislah setiap kalimat berikut dengan
menggunakan variabel x.
a. Umur Made dan umur Putri berselisih
lima tahun dan berjumlah tiga belas
tahun.
b. Suatu bilangan jika dikalikan dua
kemudian ditambah tiga, dan
dikuadratkan menghasilkan bilangan
225.
c. Sepuluh kurangnya dari luas suatu
persegi adalah 111 cm2.
d. Sebuah pecahan jika penyebutnya
ditambah tiga dan pembilangnya
dikurangi empat sama dengan 17
􀀐 .
e. Umur Mira tiga puluh tahun yang lalu
adalah 1
4
umurnya sekarang.
B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Perhatikan uraian berikut ini.
Ujang memiliki 15 kelereng merah dan 9 kelereng putih. Jika
kelereng merah dinyatakan dengan x dan kelereng putih dinyatakan
dengan y maka banyaknya kelereng Ujang adalah 15x + 9y.
7 Faktorisasi Suku Aljabar
Selanjutnya, jika Ujang diberi kakaknya 7 kelereng merah dan 3
kelereng putih maka banyaknya kelereng Ujang sekarang adalah
22x + 12y. Hasil ini diperoleh dari (15x + 9y) + (7x + 3y).
Amatilah bentuk aljabar 3x2 – 2x + 3y + x2 + 5x + 10. Sukusuku
3x2 dan x2 disebut suku-suku sejenis, demikian juga sukusuku
–2x dan 5x. Adapun suku-suku –2x dan 3y merupakan sukusuku
tidak sejenis.
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel
dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
Pemahaman mengenai suku-suku sejenis dan suku-suku tidak
sejenis sangat bermanfaat dalam menyelesaikan operasi
penjumlahan dan pengurangan dari bentuk aljabar. Operasi
penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat
diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan
distributif dengan memerhatikan suku-suku yang sejenis. Coba
kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan dan
pengurangan bilangan bulat. Sifat-sifat tersebut berlaku pada
penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.
1. Tentukan hasil penjumlahan
3x2 – 2x + 5
dengan x2 + 4x – 3.
Penyelesaian:
(3x2 – 2x + 5) + (x2 + 4x – 3)
= 3x2 – 2x + 5 + x2 + 4x – 3
= 3x2 + x2 – 2x + 4x + 5 – 3 􀁯 kelompokkan sukusuku
sejenis
= (3 + 1)x2 + (–2 + 4)x + (5 – 3) 􀁯 sifat distributif
= 4x2 + 2x + 2
2. Tentukan hasil pengurangan
4y2 – 3y + 2
dari 2(5y2 – 3).
Penyelesaian:
2(5y2 – 3) – (4y2 – 3y + 2)
= 10y2 – 6 – 4y2 + 3y – 2
= (10 – 4)y2 + 3y + (–6 – 2)
= 6y2 + 3y – 8
(Berpikir kritis)
Coba ingat kembali
mengenai sifat
komutatif, asosiatif,
dan distributif pada
bilangan bulat.
Eksplorasilah
penggunaan sifat-sifat
tersebut pada bentuk
aljabar.
Diskusikan hal ini
dengan teman
sebangkumu.
8 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
1. Tentukan koefisien dari x dan y2 pada
bentuk aljabar berikut.
a. 3x + 5y2 – 4x + (–2y2) – 7
b. 2y2 – x + 4 – y2 + 3x – 5
c. 6x – 4y2 + z – 2x + y2 – 3z
d. 3(x – y2 + 2) – 5(2x + 3y2 – 2)
2. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar
berikut.
a. (2x + 8) + (4x – 5 – 5y)
b. (3p + q) + (–2p – 5q + 7)
c. (3x2 + 2x – 1) + (x2 – 5x + 6)
d. 2(x + 2y – xy) + 5(2x – 3y + 5xy)
3. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar
berikut.
a. (2x + 5) – (x – 3)
b. (x2 + 4x – 1) – (2x2 + 4x)
c. (y2 – 3) – (4y2 + 5y + 6)
d. (5a – 6 + ab) – (a + 2ab – 1)
4. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar
berikut.
a. a2 + 2ab – 3b2 – 7a2 – 5ab
b. x2 – x – 6 + 3x2 – xy
c. 3p3 – 2pq2 + p2q – 7p3 + 2p2q
d. –2(p3 – 2pq + q2) + 3(p3 + 4pq –
q2)
2. Perkalian
a. Perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar
Coba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat.
Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac.
Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi
perkalian pada bentuk aljabar.
Perkalian suku dua (ax + b) dengan skalar/bilangan k
dinyatakan sebagai berikut.
k(ax + b) = kax + kb
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Jabarkan bentuk perkalian
berikut.
a. 2(3x – y)
b. 8(–x2 + 3x)
Penyelesaian:
a. 2(3x – y) = 2 􀁵 3x + 2 􀁵 (–y)
= 6x – 2y
b. 8(–x2 + 3x) = –8x2 + 24x
2. Selesaikan bentuk perkalian
berikut.
a. 2(–6x)
Penyelesaian:
a. 2(–6x) = 2 􀁵 (–6) 􀁵 x
= –12x
9 Faktorisasi Suku Aljabar
b.
12 1
3
a􀂧􀂨􀀐 􀂷􀂸 􀂩 􀂹
c. (–4x)(–2y)
d. (3a)(–3a)
b. Perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk aljabar
Telah kalian pelajari bahwa perkalian antara bilangan skalar
k dengan suku dua (ax + b) adalah k (ax + b) = kax + kb.
Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk
aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh
sebagai berikut.
(ax + b) (cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)
= ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd
Sifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan
suku tiga.
b. 12 1
3
a􀂧􀂨 􀀐 􀂷􀂸 􀂩 􀂹
=
12 1
3
􀁵􀂧􀂨􀀐 􀂷􀂸􀁵 􀂩 􀂹
a
= –4a
c. (–4x)(–2y) = (–4) 􀁵 (–2) 􀁵 xy
= 8xy
d. (3a)(–3a) = 3 􀁵 (–3) 􀁵 a2
= –9a2
Panjang sisi miring
sebuah segitiga sikusiku
adalah
(5x – 3) cm, sedangkan
panjang sisi sikusikunya
(3x + 3) cm
dan (4x – 8) cm.
Tentukan keliling dan
luas segitiga tersebut
dalam bentuk aljabar.
(ax + b) (cx2 + dx + e) = ax(cx2) + ax(dx) + ax(e) + b(cx2) + b(dx) + b(e)
= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be
= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be
Selanjutnya, kita akan membahas mengenai hasil perkalian
(ax + b) (ax + b), (ax + b)(ax – b), (ax – b)(ax – b), dan
(ax2 + bx + c)2. Pelajari uraian berikut ini.
a. 􀀋 􀀌 􀀋 􀀌􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
2
2
2 2 2
2 2 2 2
ax b ax b ax b
ax ax b b ax b
ax ax ax b b ax b
a x abx abx b
a x abx b
􀀎 􀀠 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎 􀀎
b. 􀀋 􀀌􀀋 􀀌 􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌 􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
2 2 2
2 2 2
ax b ax b ax ax b b ax b
ax ax ax b b ax b b
a x abx abx b
a x b
􀀎 􀀐 􀀠 􀀐 􀀎 􀀐
􀀠 􀀎 􀀐 􀀎 􀀎 􀀐
􀀠 􀀐 􀀎 􀀐
􀀠 􀀐
(Berpikir kritis)
Dengan memanfaatkan
sifat distributif,
tentukan hasil perkalian
dari bentuk aljabar
(ax2 + bx + c)2.
Diskusikan dengan
temanmu.
10 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
c. 􀀋 􀀌 􀀋 􀀌􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌 􀀋 􀀌􀀋 􀀌 􀀋 􀀌􀀋 􀀌
2
2 2 2
2 2 2 2
ax b ax b ax b
ax ax b b ax b
ax ax ax b b ax b b
a x abx abx b
a x abx b
􀀐 􀀠 􀀐 􀀐
􀀠 􀀐 􀀎 􀀐 􀀐
􀀠 􀀎 􀀐 􀀎 􀀐 􀀎 􀀐 􀀐
􀀠 􀀐 􀀐 􀀎
􀀠 􀀐 􀀎
Tentukan hasil perkalian
bentuk aljabar berikut.
1. (x + 2) (x + 3)
2. (2x + 3) (x2 + 2x – 5)
Penyelesaian:
1. Cara (i) dengan sifat distributif
(x + 2) (x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
Cara (ii) dengan skema
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
Cara (iii) dengan peragaan mencari luas persegi panjang
dengan p = x + 3 dan l = x + 2 seperti ditunjukkan pada
Gambar 1.1.
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
2. Cara (i) dengan sifat distributif
(2x + 3) (x2 + 2x – 5)
= 2x(x2 + 2x – 5) + 3(x2 + 2x – 5)
= 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15
= 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 + 7x2 – 4x – 15
x 3
x
2
(x + 2) (x + 3)
(a)
3
x
2
(b)
2 x
3 x
6
x
x2
=
Gambar 1.1
(Berpikir kritis)
Dengan menggunakan
skema, coba jabarkan
bentuk aljabar
(ax + by) (ax + by + z).
11 Faktorisasi Suku Aljabar
Cara (ii) dengan skema
(2x + 3) (x2 + 2x – 5)
= 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15
= 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 + 7x2 – 4x – 15
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar
berikut.
a. 2(x + 4) e. 4a2(–a + 2b)
b. –3(a – 2b) f. 2xy(x – 4)
c. 5(3x + 2y) g. –p2(p2 – 3p)
d. –2a(a + 4b) h. 1
2 (4x – 6y)
2. Jabarkan bentuk perkalian berikut dengan
menggunakan sifat distributif.
a. (2x – 3) (x + 5)
b. (3x – y) (x + y)
c. (5m – 1) (m + 4)
d. (2p + q) (p – 4q)
e. (a – 4) (2a + 3)
f. (a + 3b) (2a – 4b)
g. (–3 – p) (5 + p)
h. (5 + a) (7 – a)
3. Jabarkan bentuk perkalian berikut dengan
menggunakan skema, kemudian
sederhanakan.
a. (2x + 3) (x – 4)
b. (a + 3b) (a – 5b)
c. (5m – 1) (2m + 4)
d. (a – 3) (a2 + 4a + 5)
e. (x + y) (3x2 + xy + 2y2)
f. (3k – 5) (k2 + 2k – 6)
g. (a + ab + b) (a – b)
h. (x2 + 3x – 5) (x2 – 2x – 1)
4. Tentukan hasil perkalian berikut.
a. ab(a + 2b – c)
b. 5xy(x – 3y + 5)
c. 2xy(x – 3y)
d. 5a(3ab – 2ac)
e. 3y(4xy – 4yz)
3. Perpangkatan Bentuk Aljabar
Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan
bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian
berulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat
a, berlaku
n ...
sebanyak n kali
a 􀀠 a􀀈􀁵􀀋a􀀋􀁵􀀉a 􀁵􀀋􀀋􀁵􀀊a
Sekarang kalian akan mempelajari operasi perpangkatan pada
bentuk aljabar.
12 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
(a + b)1 = a + b
koefisien a dan b adalah 1 1
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
koefisien a2, ab, dan b2 adalah 1 2 1
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
koefisien a3, a2b, ab2 dan b3 adalah 1 3 3 1
(a + b)4 = (a + b)2 (a + b)2
= (a2 + 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2)
= a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2ab3 + a2b2 + 2ab3 + b4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
koefisien a4, a3b, a2b2, ab3, dan b4 adalah 1 4 6 4 1
Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan
perbedaan antara 3x2, (3x)2, –(3x)2, dan (–3x)2 sebagai berikut.
a. 3x2 = 3 􀁵 x 􀁵 x
= 3x2
b. (3x)2 = (3x) 􀁵 (3x)
= 9x2
c. –(3x)2 = –((3x) 􀁵 (3x))
= –9x2
d. (–3x)2 = (–3x) 􀁵 (–3x)
= 9x2
Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku
dua, perhatikan uraian berikut.
Demikian seterusnya untuk (a + b)n dengan n bilangan asli.
Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien
(a + b)n membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.
13 Faktorisasi Suku Aljabar
(a + b)0 􀁯 1
(a + b)1 􀁯 1 1
(a + b)2 􀁯 1 2 1
(a + b)3 􀁯 1 3 3 1
(a + b)4 􀁯 1 4 6 4 1
(a + b)5 􀁯 1 5 10 10 5 1
(a + b)6 􀁯 1 6 15 20 15 6 1
(a + b)7 􀁯 ................
Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an
kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku
ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1
pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn
pada suku ke-(n + 1).
Perhatikan contoh berikut.
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
Tentukan hasil perpangkatan
bentuk aljabar berikut.
a. (2x + 3)4
b. (x + 4y)3
Penyelesaian:
a. (2x + 3)4
= 1(2x)4 + 4(2x)3(3) + 6(2x)2(32) + 4(2x)1(33) + 1(34)
= 1(16x4) + 4(8x3)(3) + 6(4x2)(9) + 4(2x)(27) + 1(81)
= 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81
b. (x + 4y)3
= 1(x3) + 3(x2)(4y)1 + 3x (4y)2 + 1(4y)3
= 1x3 + 3x2(4y) + 3x(16y2) + 1(64y3)
= x3 + 12x2y + 48xy2 + 64y3
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan hasil perpangkatan bentuk
aljabar berikut.
a. (5a)3 c. (–3x)3
b. (2xy)2 d. (4p2q)2
(Berpikir kritis)
Berdasarkan konsep
segitiga Pascal, coba
jabarkan bentuk
aljabar (a + b)n untuk
7 􀁤 n 􀁤 10.
Bandingkan hasilnya
dengan teman
sebangkumu. Apakah
jawabanmu sudah
tepat?
14 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
e. (–5xy3)4 g. –(3pq)4
f. –(2abc)3 h. a(ab2)3
2. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar
berikut.
a. (x + 4)3 e. (3m – 2n)4
b. (a – 5)4 f. (4a – 3b)3
c. (2x + y)3 g. (2y2 + y)3
d. (3p + q)4 h. (3a – 2)5
3. Tentukan koefisien (a + b)n pada suku
yang diberikan.
a. Suku ke-3 pada (3a + 4)4.
b. Suku ke-2 pada (x + 3y)3.
c. Suku ke-2 pada (a – 2b)4.
d. Suku ke-4 pada (–2x + 5y)5.
e. Suku ke-5 pada (2m – 3)5.
4. Jabarkan bentuk aljabar berikut,
kemudian sederhanakan.
a. (2x – 1)2
b. (3 + 5x)2
c. (2x + y)2 + (x + 2y + 1)
d. (3x + 1)2 – (3x – 1)2
e. (3x + 2)2 + (2x + 1)(1 – 2x)
4. Pembagian
Kalian telah mempelajari penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar. Sekarang kalian
akan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.
Telah kalian pelajari bahwa jika suatu bilangan a dapat diubah
menjadi a = p 􀁵 q dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan q
disebut faktor-faktor dari a. Hal tersebut berlaku pula pada bentuk
aljabar.
Perhatikan uraian berikut.
2 2 2 2
3 2 3 2
2 􀀠 2􀁵 􀁵 􀁵
􀀠 􀁵 􀁵
x yz x y z
x y z x y z
Pada bentuk aljabar di atas, 2, x2, y, dan z2 adalah faktorfaktor
dari 2x2yz2, sedangkan x3, y2, dan z adalah faktor-faktor
dari bentuk aljabar x3y2z.
Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 2x2yz2 dan x3y2z adalah
x2, y, dan z, sehingga diperoleh
2 2 2
3 2
2 􀀠
x yz x yz
x y z
􀀋 􀀌
2
2z
x yz 􀀋 􀀌
􀀠 2
xy
z
xy
Berdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jika
dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil
bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang
lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk
aljabar kalian harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutu
kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.
15 Faktorisasi Suku Aljabar
Sederhanakan bentuk
aljabar berikut.
1. 5xy : 2x
2. 6x3 : 3x2
3. 8a2b3 : 2ab
4. (p2q 􀁵 pq) : p2q2
Penyelesaian:
1. 5 : 2 5 5 5
2 2 2
􀀠 􀀠 􀁵 􀀠 􀁯
􀁵
xy x xy y x y faktor sekutu x
x x
2.
3 2
3 2 2
2 2
6 :3 6 3 2 2 3
3 3
x x x x x x faktor sekutu x
x x
􀀠 􀀠 􀁵 􀀠 􀁯
3.
2 3 2
2 3
2
8 : 2 8 2 4
2 2
4 2
a b ab a b ab ab
ab ab
ab faktor sekutu ab
􀀠 􀀠 􀁵
􀀠 􀁯
4. 􀀋 􀀌 2 32
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
􀁵 : 􀀠 􀁵 􀀠
􀀠 􀁵 􀀠
p q pq p q p q pq p q
p q p q
p q p p
p q
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Sederhanakan bentuk aljabar berikut.
1. 6xy : 2y
2. 10a2b4c3 : 2abc
3. p4q6r5 : pq2r3
4. 6x3y7 : 2xy : 3y
5. 18a3b5c6 : 2ab2 : 3a2c2
C. PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR
Di kelas VII kalian telah mempelajari materi mengenai KPK
dan FPB. Pada materi tersebut kalian telah mempelajari cara
menentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Coba ingat
kembali cara menentukan faktor dari suatu bilangan. Perhatikan
uraian berikut.
48 = 1 􀁵 48
= 24 􀁵 3
Bilangan 1, 24, 3, dan 48 adalah faktor-faktor dari 48.
6. 20a4b5c7 : (4a2b2c3 : 2abc)
7. 21p4q5r3 : (8p2qr3 : 2pqr)
8. 3x2y 􀁵 2yz2 : xyz
9. 30x6y9 : (5x4y2 􀁵 2xy3)
10. 32x4yz6 : 2xyz 􀁵 4xy2z3
16 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Bilangan 2 dan 3 adalah faktor prima dari 48.
Jadi, bentuk perkalian 24 􀁵 3 merupakan faktorisasi prima
dari 48.
Ingat kembali bahwa faktorisasi prima dari suatu bilangan
adalah perkalian faktor-faktor prima dari bilangan tersebut.
Di bagian depan telah kalian pelajari bahwa sifat distributif
a(x + y) dapat dinyatakan sebagai berikut.
ax + ay = a(x + y)
bentuk
penjumlahan
bentuk
perkalian
dengan , , dan adalah
bilangan real.
a x y
Dari bentuk di atas, tampak bahwa bentuk penjumlahan dapat
dinyatakan sebagai bentuk perkalian jika suku-suku dalam bentuk
penjumlahan tersebut memiliki faktor yang sama. Dari bentuk
ax + ay = a(x + y), a dan (x + y) merupakan faktor-faktor dari
ax + ay.
Proses menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk
perkalian faktor-faktornya disebut pemfaktoran atau faktorisasi.
Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah
menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian
dari bentuk aljabar tersebut.
Sekarang, kalian akan mempelajari faktorisasi dari beberapa
bentuk aljabar. Perhatikan uraian berikut.
1. Bentuk ax + ay + az + ... dan ax + bx – cx
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih dan
memiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakan
sifat distributif.
ax + ay + az + ... = a(x + y + z + ...)
ax + bx – cx = x(a + b – c)
Faktorkanlah bentuk-bentuk
aljabar berikut.
a. 2x + 2y
b. x2 + 3x
c. a2 + ab
d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr
Penyelesaian:
a. 2x + 2y memiliki faktor sekutu 2, sehingga
2x + 2y = 2(x + y).
b. x2 + 3x memiliki faktor sekutu x, sehingga
x2 + 3x = x(x + 3).
c. a2 + ab memiliki faktor sekutu a, sehingga
a2 + ab = a(a + b).
17 Faktorisasi Suku Aljabar
Faktorkanlah bentuk aljabar
berikut.
a. x2 – 4
b. a2 – 9b2
c. 4p2 – 36
d. 9x2 – 25y2
Penyelesaian:
a. x2 – 4 = x2 – 22
= (x – 2) (x + 2)
b. a2 – 9b2 = a2 – (3b)2
= (a – 3b) (a + 3b)
c. 4p2 – 36 = (2p)2 – 62
= (2p – 6) (2p + 6)
d. 9x2 – 25y2 = (3x)2 – (5y)2
= (3x – 5y) (3x + 5y)
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. 3x – 3y 6. 3p2 – 12 11. x2 – 25 16. 64a2 – 9
2. 2x + 6 7. ab + bc 12. 9m2 – 16 17. 8a2 – 2b2
3. x3 + xy2 8. 8pq + 24pqr 13. 1 – x2 18. 25p2 – 16q2
4. ap2 + 2ap 9. x4 – 3x2 + x 14. 49 – p2 19. 36x2 – 81y2
5. 4x2y – 6xy3 10. 15x2 – 18xy + 9xz 15. 9x2 – 16 20. 81p2 – 100q2
d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr memiliki faktor sekutu pqr,
sehingga
pq2r3 + 2p2qr + 3pqr = pqr(qr2 + 2p + 3).
2. Bentuk Selisih Dua Kuadrat x2 – y2
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku dan merupakan
selisih dua kuadrat dapat dijabarkan sebagai berikut.
􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌􀀋 􀀌
2 2 2 2
2 2
􀀐 􀀠 􀀎 􀀐 􀀐
􀀠 􀀎 􀀐 􀀎
􀀠 􀀎 􀀐 􀀎
􀀠 􀀐 􀀎
x y x xy xy y
x xy xy y
x x y y x y
x y x y
Dengan demikian, bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2 dapat
dinyatakan sebagai berikut.
x2 􀀐 y2 􀀠 􀀋x 􀀐 y􀀌􀀋x 􀀎 y􀀌
18 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
3. Bentuk x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy + y2
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar x2 + 2xy + y2 dan
x2 – 2xy + y2 perhatikan uraian berikut.
a.
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌􀀋 􀀌
􀀋 􀀌
2 2 2 2
2 2
2
􀀎 2 􀀎 􀀠 􀀎 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎
x xy y x xy xy y
x xy xy y
x x y y x y
x y x y
x y
b.
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌􀀋 􀀌
􀀋 􀀌
2 2 2 2
2 2
2
􀀐 2 􀀎 􀀠 􀀐 􀀐 􀀎
􀀠 􀀐 􀀐 􀀐
􀀠 􀀐 􀀐 􀀐
􀀠 􀀐 􀀐
􀀠 􀀐
x xy y x xy xy y
x xy xy y
x x y y x y
x y x y
x y
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
x2 + 2xy + y2 = (x + y) (x + y) = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y) = (x – y)2
Faktorkanlah bentuk-bentuk
berikut.
a. p2 + 2pq + q2
b. x2 – 4x + 4
Penyelesaian:
a.
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌􀀋 􀀌
􀀋 􀀌
2 2 2 2
2 2
2
􀀎 2 􀀎 􀀠 􀀎 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎 􀀎
􀀠 􀀎
p pq q p pq pq q
p pq pq q
p p q q p q
p q p q
p q
b.
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
􀀋 􀀌􀀋 􀀌
􀀋 􀀌
2 2
2
2
4 4 2 2 4
2 2 4
2 2 2
2 2
2
􀀐 􀀎 􀀠 􀀐 􀀐 􀀎
􀀠 􀀐 􀀐 􀀐
􀀠 􀀐 􀀐 􀀐
􀀠 􀀐 􀀐
􀀠 􀀐
x x x x x
x x x
x x x
x x
x
4. Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Pada pembahasan di depan telah kalian pelajari mengenai
perkalian antara suku dua dan suku dua sebagai berikut.
19 Faktorisasi Suku Aljabar
1. Faktorkanlah bentuk
aljabar berikut.
a. x2 + 4x + 3
b. x2 – 13x + 12
Penyelesaian:
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c
dengan c positif sebagai berikut.
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.
a. x2 + 4x + 3 = (x + 1) (x + 3)
b. x2 – 13x + 12 = (x – 1) (x – 12)
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6 ........... (dihasilkan suku tiga)
Sebaliknya, bentuk suku tiga x2 + 5x + 6 apabila difaktorkan
menjadi
x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
􀃈 􀃈
5 = 2 + 3 6 = 2 􀁵 3 2 􀁵 3 = 6
2 + 3 = 5
Perhatikan bahwa bentuk aljabar x2 + 5x + 6 memenuhi bentuk
x2 + bx + c.
Berdasarkan pengerjaan di atas, ternyata untuk memfaktorkan
bentuk x2 + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua bilangan
real yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama dengan
b.
Misalkan x2 + bx + c sama dengan (x + m) (x + n).
x2 + bx + c = (x + m) (x + n)
= x2 + mx + nx + mn
= x2 + (m + n)x + mn
x2 + bx + c = x2 + (m + n)x + mn
x2 + bx + c = (x + m) (x + n) dengan m 􀁵 n = c dan
m + n = b
3 Jumlah
1 3 4
12 Jumlah
1 12 13
2 6 8
3 4 7
20 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Penyelesaian:
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar
x2 + bx + c untuk c negatif sebagai berikut.
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b.
– Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan
b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda
sebaliknya.
a. x2 + 4x – 12 = (x – 2) (x + 6)
b. x2 – 15x – 16 = (x + 1) (x – 16)
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. x2 – 6x + 8 6. m2 + 8m + 16 11. x2 – 6x + 9 16. t2 – 3t – 18
2. x2 + 9x + 20 7. p2 – 8p + 12 12. x2 – 2xy + y2 17. b2 – 2b – 8
3. x2 + 7x + 12 8. b2 + 6b + 9 13. a2 – 2a – 15 18. p2 + 8p – 33
4. p2 – 5p + 4 9. p2 – 4p + 4 14. m2 + 2m + 1 19. n2 + 2n – 8
5. a2 + 8a + 12 10. x2 – 8x + 16 15. a2 + 5a – 24 20. y2 + 3y – 40
12 Selisih
1 12 11
2 6 4
3 4 1
16 Selisih
1 16 15
2 8 6
4 4 0
5. Bentuk ax2 + bx + c dengan a 􀁺 1, a 􀁺 0
Kalian telah mempelajari perkalian antara suku dua dengan
suku dua menjadi bentuk penjumlahan seperti berikut.
(3x + 2) (4x + 3) = 12x2 + 9x + 8x + 6
= 12x2 + 17x + 6
Perhatikan bahwa (9 + 8) = 17 dan 9 􀁵 8 = 12 􀁵 6.
12 􀁵 6 = 72
9 􀁵 8 = 72
9 􀀎 8 = 17
2. Faktorkanlah bentuk
aljabar berikut.
a. x2 + 4x – 12
b. x2 – 15x – 16
21 Faktorisasi Suku Aljabar
Berdasarkan uraian di atas dapat dikatakan bahwa bentuk
ax2 + bx + c dengan a 􀁺 1, a 􀁺 0 dapat difaktorkan dengan cara
berikut.
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c
dengan p 􀁵 q = a 􀁵 c
p + q = b
Selain dengan menggunakan sifat distributif, terdapat rumus
yang dapat digunakan untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 +
bx + c dengan a 􀁺 1. Perhatikan uraian berikut.
Misalkan ax2 + bx + c = 1a
(ax + m) (ax + n).
ax2 + bx + c 􀀋 􀀎 􀀌􀀋 􀀎 􀀌
􀀠
ax m ax n
a
􀂜 a􀀋ax2 􀀎 bx 􀀎 c􀀌􀀠 a2x2 􀀎 amx 􀀎 anx 􀀎 mn
􀂜 a2x2 + abx + ac = a2x2 + a(m + n)x + mn
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa m 􀁵 n = a 􀁵 c dan
m + n = b.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa ada dua cara
untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 + bx + c dengan a 􀁺 1
sebagai berikut.
a. Menggunakan sifat distributif
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c dengan
p 􀁵 q = a 􀁵 c dan
p + q = b
b. Menggunakan rumus
ax2 + bx + c = 1a
(ax + m) (ax + n) dengan
m 􀁵 n = a 􀁵 c dan
m + n = b
22 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
ac = 45 Jumlah
1 45 46
3 15 18
5 9 14
Penyelesaian:
a. Memfaktorkan 3x2 + 14x + 15.
Langkah-langkah pemfaktoran ax2 + bx + c, a 􀁺 1
untuk c positif sebagai berikut.
– Jabarkan a 􀁵 c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.
3x2 + 14x + 15; a = 3; b = 14; c = 15
Cara 1
Dengan menggunakan sifat distributif
Dua bilangan yang hasil kalinya
ac = 3 􀁵 15 = 45 dan jumlahnya 14
adalah 5 dan 9, sehingga
3x2 + 14x + 15 = 3x2 + 5x + 9x + 15
= x(3x + 5) + 3(3x + 5)
= (x + 3) (3x + 5)
Cara 2
Dengan menggunakan rumus
3x2 + 14x + 15 = 1
3
(3x + 5) (3x + 9)
= 1 􀀋3 9􀀌􀀋3 5􀀌
3
x 􀀎 x 􀀎
= 1 3􀀋 3􀀌􀀋3 5􀀌
3
􀁵 x 􀀎 x 􀀎
= (x + 3) (3x + 5)
Jadi, 3x2 + 14x + 15 = (x + 3) (x + 5).
b. Memfaktorkan 8x2 + 2x – 3.
Langkah-langkah pemfaktoran ax2 + bx + c, a 􀁺 1
dengan c negatif sebagai berikut.
– Jabarkan a 􀁵 c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b.
– Bilangan yang bernilai lebih besar sama tandanya
dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih
kecil bertanda sebaliknya.
Faktorkanlah bentuk-bentuk
aljabar berikut.
a. 3x2 + 14x + 15
b. 8x2 + 2x – 3
23 Faktorisasi Suku Aljabar
Cara 1
Dengan menggunakan sifat distributif
Dua bilangan yang hasil kalinya ac
= 8 􀁵 3 = 24 dan selisihnya 2 adalah
4 dan 6, sehingga
8x2 + 2x – 3
= 8x2 – 4x + 6x – 3
= 4x(2x – 1) + 3(2x – 1)
= (4x + 3) (2x – 1)
Cara 2
Dengan menggunakan rumus
8x2 + 2x – 3 = 18
(8x – 4) (8x + 6)
= 1 1 􀀋8 4􀀌􀀋8 6􀀌
4 2
􀁵 x 􀀐 x 􀀎
= 1
4
(8x – 4) 􀁵 1
2
(8x + 6)
= 1 4􀀋2 1􀀌 1 2􀀋4 3􀀌
4 2
􀁵 x 􀀐 􀁵 􀁵 x 􀀎
= (2x – 1) (4x + 3)
Jadi, 8x2 + 2x – 3 = (2x – 1) (4x + 3).
ac = 24 Selisih
1 24 23
2 12 10
3 8 5
4 6 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. 2x2 + 7x + 3 8. 12m2 – 8m + 1 15. 2y2 + 5y – 3
2. 3x2 + 18x + 5 9. 10a2 – 43a + 12 16. 4x2 – 7xy – 2y2
3. 2x2 + 5x + 3 10. 12x2 – 34x + 10 17. 6x2 + 5xy – 6y2
4. 3y2 + 8y + 4 11. 3p2 + 7p – 6 18. 8a2 + 2ab – 15b2
5. 5x2 + 13x + 6 12. 8a2 + 10a – 3 19. 1 + 3m – 18m2
6. 3y2 – 8y + 4 13. 6y2 – 5y – 6 20. 15 – 7x – 2x2
7. 8p2 – 14p + 5 14. 5x2 + 23x – 10
24 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Selesaikan operasi penjumlahan
atau pengurangan
berikut.
1.
2
4 3
9 3
􀀎
x 􀀐 x 􀀎
2. 4 5
3 1
􀀐
x 􀀎 x 􀀐
Sederhanakan bentuk
aljabar
2
2
21 38 5 .
12 29 15
x x
x x
􀀎 􀀎
􀀎 􀀎
Penyelesaian:
1. 2
2
2
4 3 4 3( 3)
9 3 ( 3)( 3) ( 3)( 3)
4 3 9
9
3 5
9
x
x x x x x x
x
x
x
x
􀀎 􀀠 􀀎 􀀐
􀀐 􀀎 􀀎 􀀐 􀀎 􀀐
􀀠 􀀎 􀀐
􀀐
􀀠 􀀐
􀀐
2.
2
2
4 5 4( 1) 5( 3)
3 1 ( 3)( 1)
4 4 5 15
2 3
19
2 3
􀀐 􀀠 􀀐 􀀐 􀀎
􀀎 􀀐 􀀎 􀀐
􀀠 􀀐 􀀐 􀀐
􀀎 􀀐
􀀠 􀀐 􀀐
􀀎 􀀐
x x
x x x x
x x
x x
x
x x
2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar
Perkalian antara dua pecahan dapat dilakukan dengan
mengalikan antara pembilang dengan pembilang dan penyebut
dengan penyebut.
􀁵 􀀠 􀁵 􀀠
􀁵
a c a c ac
b d b d bd
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan hasil perkalian
antara dua pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut.
D. OPERASI PADA PECAHAN BENTUK
ALJABAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar
Di kelas VII kalian telah mempelajari operasi penjumlahan
dan pengurangan pada pecahan aljabar dengan penyebut suku satu.
Sama seperti pada pecahan aljabar dengan penyebut suku satu,
pada pecahan aljabar dengan penyebut suku dua dan sama dapat
langsung dijumlah atau dikurangkan pembilangnya.
Adapun pada penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar
dengan penyebut berbeda dapat dilakukan dengan cara
menyamakan penyebutnya terlebih dahulu menjadi kelipatan
persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya.
a 􀀎 c 􀀠 ad 􀀎 bc
b d bd atau 􀀐 a 􀀐 c 􀀠 ad bc
b d bd
25 Faktorisasi Suku Aljabar
Selesaikan operasi perkalian
berikut.
1.
2 25
5 2
􀁵 􀀐
􀀎 􀀐
a a
a a
2.
2 3
5 1
􀀎 􀁵
􀀎
x x x
x
Penyelesaian:
1.
2
2
25 ( 5)( 5)
5 2 ( 5)( 2)
( 5)
2
5
2
􀁵 􀀐 􀀠 􀀐 􀀎
􀀎 􀀐 􀀎 􀀐
􀀠 􀀐
􀀐
􀀠 􀀐
􀀐
a a a a a
a a a a
a a
a
a a
a
2.
2
2
3 ( 1) 3
5 1 5( 1)
3
5
􀀎 􀁵 􀀠 􀀎 􀁵
􀀎 􀀎
􀀠
x x x x x x
x x
x
Pembagian antara dua pecahan aljabar dilakukan dengan
mengubah bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian dengan
cara mengalikan dengan kebalikan pecahan pembagi.
: 􀀠 􀁵 􀀠 􀁵 􀀠
􀁵
a c a d a d ad
b d b c b c bc
Selesaikan pembagian pecahan
aljabar berikut.
1. 2 4 :
3 4
m m 􀀎 m
2.
2 2
2 a 􀀐 b : a 􀀎 b
a a
Penyelesaian:
1. 2
2
: 4 4
3 4 3 4
4
3 ( 4)
4
3( 4)
􀀎 􀀠 􀁵
􀀎
􀀠
􀀎
􀀠
􀀎
m m m m
m m
m
m m
m
2.
2 2 2 2 2
2
2
2
:
( )( )
( )
( )
􀀐 􀀎 􀀠 􀀐 􀁵
􀀎
􀀠 􀀐 􀀎
􀀎
􀀠 􀀐
􀀠 􀀐
a b a b a b a
a a a a b
a b a ba
a a b
a ba
a ab
Misalkan x 􀀠 .
y
1
Tentukan hasil dari
􀂧 􀀐 1 􀂷􀂧 􀀎 1 􀂷. 􀂨􀂩 􀂸􀂹􀂨􀂩 􀂸􀂹
x y
x y
26 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Sederhanakanlah.
a. 1 􀀎 3
a ab
b. 2
3
4 3 4
􀀐
􀀐 􀀐 􀀐
x
x x x
c. 2 3
2 4
􀀎
x 􀀎 x 􀀐
d.
2
12 4
81 9
􀀐
x 􀀐 x 􀀐
e. 1 2
5 3
􀀐
x 􀀐 x 􀀎
f.
2
3 1
25 5
􀀐
y 􀀐 y 􀀎
g. 2
2
2
5 2 9 5
􀀐
􀀎 􀀎 􀀐
x x
x x x
h. 2
2 3
6 6 36
􀀐 􀀎
􀀐 􀀎 􀀐
x y xy
x x x
2. Sederhanakanlah.
a. 4
6 3 2
􀁵
􀀐 􀀐
x x
x y x y
b. 2 1
m 1 m 1
􀁵
􀀎 􀀐
c.
3
2
6 12 36
18 12 18
􀀐 􀁵
􀀐
x y xy
x y x y
d. 3 2 3
2
y y y
y y
􀂧 􀂷 􀂧 􀂷
􀂨 􀀐 􀂸􀁵 􀂨 􀀎 􀀎 􀂸 􀂩 􀀎 􀂹 􀂩 􀂹
e.
2 2
2 2
2 5 6 4 4 1
4 2 2 1
x x x x
x x x
􀀎 􀀐 􀁵 􀀎 􀀎
􀀐 􀀐 􀀐
3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.
a. 2 4 3 4 :
4
x x x
x
􀀎 􀀎 􀀎
b.
2 2
: 5
13 12 1
a ab
a 􀀐 a 􀀎 a 􀀐
c.
4 9 : 3 16 5
2 2
x
x x
􀂧 􀀎 􀀐 􀂷 􀂧 􀀎 􀀐 􀂷 􀂨􀂩 􀀐 􀂸􀂹 􀂨􀂩 􀀎 􀂸􀂹
d.
2x 1 : x 2xy y
x y x y
􀂧 􀂷 􀂧 􀂷
􀂨 􀀐 􀂸 􀂨 􀀎 􀀐 􀂸 􀂩 􀀎 􀂹 􀂩 􀀎 􀂹
e. 2 2
2 2
3 17 20 : 3 12 9
2 8 2 3 9
x x x x
x x x x
􀀐 􀀎 􀀐 􀀎
􀀐 􀀐 􀀐 􀀐
3. Menyederhanakan Pecahan Aljabar
Pecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebut
pecahan tersebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan, kecuali 1.
Dengan kata lain, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan
memiliki faktor yang sama kecuali 1 maka pecahan tersebut dapat
disederhanakan. Hal ini juga berlaku pada pecahan bentuk aljabar.
Menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan dengan
memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudian
dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang dan penyebut
tersebut.
27 Faktorisasi Suku Aljabar
Sederhanakan pecahanpecahan
aljabar berikut.
1.
3 2 2 2
4
a b ab
ab
􀀐
2. 2
2
3 10
2 11 5
x x
x x
􀀎 􀀐
􀀎 􀀎
Penyelesaian:
1.
3 2 2 2 (3 2 )
4 4
3 2
4
a b ab ab a b
ab ab
a b
􀀐 􀀠 􀀐
􀀠 􀀐
2.
2
2
3 10 ( 2)( 5)
2 11 5 (2 1)( 5)
2
2 1
􀀎 􀀐 􀀠 􀀐 􀀎
􀀎 􀀎 􀀎 􀀎
􀀠 􀀐
􀀎
x x x x
x x x x
x
x
4. Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Kompleks)
Pecahan bersusun (kompleks) adalah suatu pecahan yang
pembilang atau penyebutnya atau kedua-duanya masih memuat
pecahan. Untuk menyederhanakan pecahan bersusun, dilakukan
dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan KPK
dari penyebut pecahan pada pembilang dan penyebut pecahan pada
penyebut pecahan bersusun.
Sederhanakan pecahanpecahan
berikut.
1.
1 1
1
a b
a b
􀀎
􀀐
2. 2 2
x y
y x
x y
􀀐
􀀐
Penyelesaian:
1.
1 1
1 1
1
( 1)
b a
a b ab
a b abb
a b b
ab ab
a b
a ab
􀀎 􀀎
􀀠 􀀐 􀀐
􀀠 􀀎 􀁵
􀀐
􀀠 􀀎
􀀐
2.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1
1
x y x y
y x xy
x y x y
x y
xy x y
xy
􀀐 􀀐
􀀠
􀀐 􀀐
􀀠 􀀐 􀁵
􀀐
􀀠
28 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Sederhanakan pecahan-pecahan
berikut.
a. 􀀋 􀀌
2
2
64 49
8 7
􀀐
􀀐
x
x
b. 􀀋 􀀌
2 2 2
2
b ax
ax b
􀀐
􀀐
c.
12 2 6 2
6
pqr p qr
pqr
􀀐
d. 2
2
5 6
6 8
􀀎 􀀎
􀀎 􀀎
x x
x x
e. 􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
2
2 2
1
1
x
xy x y
􀀐
􀀎 􀀐 􀀎
2. Sederhanakan pecahan bersusun berikut.
a.
1 1
1 1
x y
x y
􀀐
􀀎
b.
2
4
a
b
a
b
􀀐
􀀎
c. 2
2
4
3
2
x
x
x
􀀎
􀀐
􀀐
d. 1 11 1 2 1 2
2 1
x
x
􀀐
􀀐 􀀐 􀀐
􀀎
e.
1
x y x y
x y x y
x y
x y
􀀎 􀀐 􀀐
􀀐 􀀎
􀀎 􀀎
􀀐
1. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan
pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
2. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar
dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif,
asosiatif, dan distributif dengan memerhatikan suku-suku yang
sejenis.
3. Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan
bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari
bentuk aljabar tersebut.
4. Untuk menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan
dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih
dahulu, kemudian dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang
dan penyebut tersebut.
29 Faktorisasi Suku Aljabar
Setelah mempelajari bab ini, bagaimana pemahaman kalian
mengenai Faktorisasi Suku Aljabar? Jika kalian sudah paham,
coba rangkum kembali materi tersebut dengan kata-katamu sendiri.
Jika ada materi yang belum kamu pahami, catat dan tanyakan
kepada gurumu. Catat pula manfaat apa saja yang dapat kalian
peroleh dari materi ini. Buatlah dalam sebuah laporan dan serahkan
kepada gurumu.
Kerjakan di buku tugasmu.
A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.
1. Pada bentuk aljabar 2x2 + 3xy – y2
terdapat ... variabel.
a. 1 c. 3
b. 2 d. 4
2. Suku dua terdapat pada bentuk aljabar
....
a. 2x2 + 4x – 2
b. 3x2 – y2 + xy – 5
c. 4x2 – y2
d. 2x2
3. Hasil pengurangan a2 – 2a dari
2 – 3a2 adalah ....
a. –4a + 2a + 2 c. 2a2 + 2a – 2
b. 4a2 – 2a – 2 d. a2 – 2a + 2
4. Hasil dari (x – y) (2x + 3y) adalah ....
a. 2x2 – 5xy – 3y2 c. x2 – 5xy – y2
b. 2x2 + xy – 3y2 d. x2 + xy – y2
5. Bentuk sederhana dari
2(x – 3y + xy) – 2xy + 3x adalah ....
a. 4x – xy – 3y c. 4x – 6y + xy
b. 5x – xy – 4y d. 5x – 6y
6. Diketahui 􀀧 ABC siku-siku di C,
dengan AC = (x – 7) cm, BC = (x –
14) cm, dan AB = x cm. Panjang sisi
AC adalah ....
a. 21 cm c. 28 cm
b. 25 cm d. 35 cm
7.
5 2
2 5
x x
x x
􀀎 􀀎 􀀐
􀀐 􀀎 = ....
a. 􀀋 􀀌􀀋 􀀌
2 2 3 9
2 5
x x
x x
􀀐 􀀎
􀀐 􀀎 c. 􀀋 􀀌􀀋 􀀌
2 2 6 29
2 5
x x
x x
􀀎 􀀎
􀀐 􀀎
b. 􀀋 􀀌􀀋 􀀌
2 2 6 29
2 5
x x
x x
􀀐 􀀐
􀀐 􀀎 d. 􀀋 􀀌􀀋 􀀌
2 2 6 29
2 5
x x
x x
􀀐 􀀎
􀀐 􀀎
8. Jika
2 􀀋 􀀌􀀋 􀀌
3 4 4
5 20
􀀐 􀀐 􀀠 􀀐
􀀎 􀀎 􀀐 􀀎 􀀐
x ax a
x x x x b x c
maka perbandingan (b – c) : a = ....
a. 1 : 3 c. 1 : 4
b. 1 : 2 d. 1 : 6
9. Bentuk sederhana dari
4 9 2
2 3
a
a
􀀐
􀀎
= ....
a. 4 – 6a c. 2 + 3a
b. 4 + 6a d. 2 – 3a
10. Bentuk sederhana dari
2
2
4 4 1
4 1
x x
x
􀀐 􀀎
􀀐
= ....
30 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
a.
2 1
2 1
x
x
􀀐
􀀎 c.
2
2
x
x
􀀐
􀀎
b.
2 1
2 1
x
x
􀀎
􀀐 d.
2
2
x
x
􀀎
􀀐
11. Bentuk sederhana dari
2
2
3 2
2 12
x x x
x x x
􀀐 􀁵 􀀐 􀀐
􀀐 􀀎 􀀐
= ....
a.
1
4
x
x
􀀐
􀀐
c.
4
1
x
x
􀀎
􀀎
b.
4
1
x
x
􀀎
􀀐 d.
1
4
x
x
􀀎
􀀎
12. Bentuk aljabar 25a2 – 16b2 jika difaktorkan
hasilnya ....
a. (5a – b) (5a – b)
b. (a + 4b) (a – 4b)
c. (5a – 4b) (5a – 4b)
d. (5a – 4b) (5a + 4b)
13. Pemfaktoran x2 – 19x – 20 adalah ....
a. (x – 4) (x + 5) c. (x + 1) (x – 20)
b. (x – 2) (x – 10) d. (x + 2) (x – 10)
14. Pemfaktoran dari 4x2 + 14x – 18
adalah ....
a. (4x – 3) (x + 6)
b. (2x – 3) (2x + 6)
c. (4x – 2) (x + 9)
d. (2x – 2) (2x + 9)
15. Luas sebuah persegi panjang adalah
(2x2 + 3x – 9) cm2 dan panjang sisinya
(4x + 6) cm. Lebar persegi panjang
itu adalah ....
a. 2(x + 3) c. 1
4 (2x – 3)
b.
3
4 (x + 3) d.
1
2 (2x – 3)
B. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Sederhanakanlah.
a. 􀀋3x2 􀀐 xy2 􀀌􀀎 􀀋5x2 􀀎 2xy2 􀀐1􀀌
b. (2x2y – xy2 + 3) – (x2y + 2xy2 – 7)
c. (2p – 3) – (3p + 7) – (5p – 9) +
(p – 12)
d. –2(m + 3) – 4(2m – 2(m + 5) – 8)
e. 3(6a – (a + b)) + 3(–2(2a + 3b) +
4(a – b))
2. Jabarkan dan sederhanakanlah.
a. (3x – 2) (4x + 5)
b. (x + 8y) (2x – 3y)
c. (9p – 5q)2
d. (8a – 3b) (8a + 3b)
e. (x + 5) (x2 + 6x – 4)
3. Faktorkanlah.
a. x2 + 6x – 16
b. 8x2 – 2xy – 15y2
c. p2 – 16q4
d. 9a2 – 8a – 1
e. 49x2 – 28x + 4
4. Sederhanakanlah.
a.
2x2 y2 􀀋x2 2y2 􀀌
x y
􀀎 􀀐 􀀎
􀀎
b.
2
2
49
12 28
x
x x
􀀐
􀀐 􀀎
c. 􀀋 􀀌 􀀋 􀀌
2
2 2
1
1
x
xy x y
􀀐
􀀎 􀀐 􀀎
d. 2 2
1 1
a 2a 1 a 1
􀀎
􀀎 􀀎 􀀐
e.
1 1
a b
a b
b a
􀀐
􀀐
5. Diketahui suatu segitiga dengan alas
(x + 2) cm dan luasnya (x2 – 4) cm2.
a. Tentukan tinggi segitiga dalam
variabel x.
b. Jika x = 3, tentukan ukuran
segitiga tersebut.

Basket  

Posted by M Riyadh Rizqullah in


Bola basket adalah olahraga bola berkelompok yang terdiri atas dua tim beranggotakan masing-masing lima orang yang saling bertanding mencetak poin dengan memasukkan bola ke dalam keranjang lawan. Bola basket sangat cocok untuk ditonton karena biasa dimainkan di ruang olahraga tertutup dan hanya memerlukan lapangan yang relatif kecil. Selain itu, bola basket mudah dipelajari karena bentuk bolanya yang besar, sehingga tidak menyulitkan pemain ketika memantulkan atau melempar bola tersebut.

Bola basket adalah salah satu olahraga yang paling digemari oleh penduduk Amerika Serikat dan penduduk di belahan bumi lainnya, antara lain di Amerika Selatan, Eropa Selatan, Lithuania, dan juga di Indonesia.

Sejarah perkembangan

Basket dianggap sebagai olahraga unik karena diciptakan secara tidak sengaja oleh seorang pastor. Pada tahun 1891, Dr. James Naismith, seorang pastor asal Kanada yang mengajar di sebuah fakultas untuk para mahasiswa profesional di YMCA (sebuah wadah pemuda umat Kristen) di Springfield, Massachusetts, harus membuat suatu permainan di ruang tertutup untuk mengisi waktu para siswa pada masa liburan musim dingin di New England.Terinspirasi dari permainan yang pernah ia mainkan saat kecil di Ontario,Naismith menciptakan permainan yang sekarang dikenal sebagai bola basket pada 15 Desember 1891.

Menurut cerita, setelah menolak beberapa gagasan karena dianggap terlalu keras dan kurang cocok untuk dimainkan di gelanggang-gelanggang tertutup, dia lalu menulis beberapa peraturan dasar, menempelkan sebuah keranjang di dinding ruang gelanggang olahraga, dan meminta para siswanya untuk mulai memainkan permainan ciptaannya itu.

Pertandingan resmi bola basket yang pertama, diselenggarakan pada tanggal 20 Januari 1892 di tempat kerja Dr. James Naismith. "Basket ball" (sebutan bagi olahraga ini dalam bahasa Inggris), adalah sebutan yang digagas oleh salah seorang muridnya. Olahraga ini pun menjadi segera terkenal di seantero Amerika Serikat. Penggemar fanatiknya ditempatkan di seluruh cabang YMCA di Amerika Serikat. Pertandingan demi pertandingan pun segera dilaksanakan di kota-kota di seluruh negara bagian Amerika Serikat.

Pada awalnya,setiap tim berjumlah sembilan orang dan tidak ada dribble,sehingga bola hanya dapat berpindah melalui pass (lemparan). Sejarah peraturan permainan basket diawali dari 13 aturan dasar yang ditulis sendiri oleh James Naismith. Aturan dasar tersebut adalah sebagai berikut.

  1. Bola dapat dilemparkan ke segala arah dengan menggunakan salah satu atau kedua tangan.
  2. Bola dapat dipukul ke segala arah dengan menggunakan salah satu atau kedua tangan, tetapi tidak boleh dipukul menggunakan kepalan tangan (meninju).
  3. Pemain tidak diperbolehkan berlari sambil memegang bola. Pemain harus melemparkan bola tersebut dari titik tempat menerima bola, tetapi diperbolehkan apabila pemain tersebut berlari pada kecepatan biasa.
  4. Bola harus dipegang di dalam atau diantara telapak tangan. Lengan atau anggota tubuh lainnya tidak diperbolehkan memegang bola.
  5. Pemain tidak diperbolehkan menyeruduk, menahan, mendorong, memukul, atau menjegal pemain lawan dengan cara bagaimanapun. Pelanggaran pertama terhadap peraturan ini akan dihitung sebagai kesalahan, pelanggaran kedua akan diberi sanksi berupa pendiskualifikasian pemain pelanggar hingga keranjang timnya dimasuki oleh bola lawan, dan apabila pelanggaran tersebut dilakukan dengan tujuan untuk mencederai lawan, maka pemain pelanggar akan dikenai hukuman tidak boleh ikut bermain sepanjang pertandingan. Pada masa ini, pergantian pemain tidak diperbolehkan.
  6. Sebuah kesalahan dibuat pemain apabila memukul bola dengan kepalan tangan (meninju), melakukan pelanggaran terhadap aturan 3 dan 4, serta melanggar hal-hal yang disebutkan pada aturan 5.
  7. Apabila salah satu pihak melakukan tiga kesalahan berturut-turut, maka kesalahan itu akan dihitung sebagai gol untuk lawannya (berturut-turut berarti tanpa adanya pelanggaran balik oleh lawan).
  8. Gol terjadi apabila bola yang dilemparkan atau dipukul dari lapangan masuk ke dalam keranjang, dalam hal ini pemain yang menjaga keranjang tidak menyentuh atau mengganggu gol tersebut. Apabila bola terhenti di pinggir keranjang atau pemain lawan menggerakkan keranjang, maka hal tersebut tidak akan dihitung sebagai sebuah gol.
  9. Apabila bola keluar lapangan pertandingan, bola akan dilemparkan kembali ke dalam dan dimainkan oleh pemain pertama yang menyentuhnya. Apabila terjadi perbedaan pendapat tentang kepemilikan bola, maka wasitlah yang akan melemparkannya ke dalam lapangan. Pelempar bola diberi waktu 5 detik untuk melemparkan bola dalam genggamannya. Apabila ia memegang lebih lama dari waktu tersebut, maka kepemilikan bola akan berpindah. Apabila salah satu pihak melakukan hal yang dapat menunda pertandingan, maka wasit dapat memberi mereka sebuah peringatan pelanggaran.
  10. Wasit berhak untuk memperhatikan permainan para pemain dan mencatat jumlah pelanggaran dan memberi tahu wasit pembantu apabila terjadi pelanggaran berturut-turut. Wasit memiliki hak penuh untuk mendiskualifikasi pemain yang melakukan pelanggaran sesuai dengan yang tercantum dalam aturan 5.
  11. Wasit pembantu memperhatikan bola dan mengambil keputusan apabila bola dianggap telah keluar lapangan, pergantian kepemilikan bola, serta menghitung waktu. Wasit pembantu berhak menentukan sah tidaknya suatu gol dan menghitung jumlah gol yang terjadi.
  12. Waktu pertandingan adalah 4 quarter masing-masing 10 menit
  13. Pihak yang berhasil memasukkan gol terbanyak akan dinyatakan sebagai pemenang.


Pada Agustus 1936, saat menghadiri Olimpiade Berlin 1936, ia dinamakan sebagai Presiden Kehormatan Federasi Bola Basket Internasional. Terlahir sebagai warga Kanada, ia menjadi warga negara Amerika Serikat pada 4 Mei 1925.

Naismith meninggal dunia 28 November 1939, kurang dari enam bulan setelah menikah untuk kedua kalinya.

Perkembangan

Permainan basket sudah sangat berkembang dan digemari sejak pertama kali diperkenalkan oleh James Naismith. Salah satu perkembangannya adalah diciptakannya gerakan slam dunk atau menombok, yaitu gerakan untuk memasukkan dan melesakan bola basket langsung ke dalam keranjang yang bisa dilakukan dengan gerakan akrobatik yang berkekuatan luar biasa

Salah satu club basket






Barack Obama  

Posted by M Riyadh Rizqullah in


obama fanBarack Obama in Berlin in July. (Credit: Jae C. Hong/ Associated Press)

President-elect Barack Obama on Jan. 20 will become the most important leader of a species that has exploded in just six generations from a total population of 1 billion (around 1830) to a point today when teenagers alone number 1 billion, a species that is on a path toward more or less 9 billion people by mid-century. In numbers, think roughly of adding two Chinas on top of the one that exists today. Expectations that he will exert planet-scale leadership are high, as indicated in this letter from Nelson Mandela to the next president.

Mr. Obama will of course be mainly focused first on economic renewal and finding a way forward in Iraq and Afghanistan. But inevitably issues related to humanity’s growth spurt — both in numbers and resource demands — will come to the fore. The Times columnist David Brooks wrote an interesting piece the other day, “A Date With Scarcity,” focused on resource and financial limits facing an American generation that came of age expecting ever more, explaining a time when “demands on the nation’s wealth outstrip the supply.” As he projected, “There will be fiercer struggles over scarce resources, starker divisions along factional lines.”

Many students of global population and resource trends say the same constraints and consequences are likely to play out on a planetary scale. Keep in mind, as I said above, that we essentially live on “Planet Teen” right now. Depending on the level of governance and economic opportunity they experience, today’s young people could either become soldiers or students, agitators or innovators, terrorists or teachers.

While global commerce and communication may be “flattening” the world, as my colleague Tom Friedman has pointed out, when mapped in terms of population trends, energy choices, vulnerability and prosperity, the planet is distinctly un-flat. The ruling class in São Paulo commutes by private helicopter from walled compounds to skyscraper roofs over a sea of congestion and poverty. Industrialized countries shield themselves from the threats posed by climate extremes with wealth and technology while the equatorial poor are alternately pounded by drought or flood.

So what’s a president to do on issues like climate, population, international development and health, particularly in an era of huge deficits and pressing real-time problems? I’d like to send Mr. Obama’s transition team your 10 best proposals, as determined by their ranking by readers using one of Dot Earth’s newest features.

Here are a couple of thoughts to prime the pump:


Defense and Development:
The Pentagon has recently made fostering stability in turbulent states a top priority, on a par with maintaining the capacity to wage war. What resources and initiatives in the military might be adjusted (without new money) to advance development?

Defense and Energy:
The military also has the world’s largest budget for basic research and development, to the tune of some $75 billion a year (we spend about $1 billion a year on all energy research, as I pointed out the other day). Military leaders already have energy efficiency as a top priority (much of the activity on a battlefield is focused on protecting fuel supplies).

Climate and Energy:
Mr. Obama has already pledged to convene a world energy forum, somewhat akin to recent efforts by the Bush administration to bring together established and emerging powers that are the top energy users and emitters of greenhouse gases. Given the importance of abundant, clean energy supplies, and the clock ticking toward a pivotal climate-treaty conference in December 2009, many experts see this as a prime priority. Some environmental campaigners, led by Bill McKibben of 350.org, have pressed Mr. Obama or a top surrogate to attend the next climate-treaty conference, in Poland in December, even before he takes office. I’ve heard mixed reactions to that idea from seasoned experts on environmental diplomacy. (Our Green Inc. blog has European reaction related to global warming.)

Family Planning:
The world has focused for years on curbing the scourge of H.I.V. in Africa, but population groups say this effort, while laudable, has raided money for family-planning programs that could cut the risk of infection and also help speed the transition out of poverty in the world’s poorest places. The graph below, from Population Action International, shows the spending trends. Can United States’ international H.I.V. policy and family planning programs be more integrated without big new investments?

spending on HIV and family planningFrom a study by Population Action International of United States investments in controlling H.I.V. and fostering family planning.

PERANGKAT KERAS MEMBANGUN JARINGAN KOMPUTER  

Posted by M Riyadh Rizqullah in


1.Network interface card 

Adalah kartu -- maksudnya papan elektronik -- yang ditanam pada setiap komputer yang terhubung ke jaringan. Beberapa komputer desktop yang dijual di pasaran saat ini sudah dilengkapi dengan kartu ini. Saat Anda membeli komputer, Anda bisa menanyakan penjualnya apakah pada komputer sudah dipasangkan NIC. Jika belum Anda bisa meminta penjualnya untuk memasangkan, atau Anda bisa membelinya dan memasangnya sendiri.
A.Ethernet
Merupakan jenis skenario perkabelan dan pemrosesan sinyal untuk data jaringan komputer yang dikembangkan oleh Robert Metcalfe dan David Boggs di Xerox Palo Alto Research Center (PARC) pada tahun 1972.
B.Localtalk Connector
Dapat melewati port serial dengan menggunakan adapter localtalk dan kabel twisted pair. Dan jaringan ini hanya memungkinkan jaringan secara peer to peer tanpa membutuhkan tambahan aplikasi khusus. Kecepatan transmisi hanya 230 Kbps yang merupakan kelemahan protocol ini.Protokol ini digunakan pada topologi Bus dan Star dengan menggunakan kabel twisted pair. 

C.Token Ring
Adalah sebuah cara akses jaringan berbasis teknologi ring yang pada awalnya dikembangkan dan diusulkan oleh Olaf Soderblum pada tahun 1969.
2. HUB ( konsentrator )

Hub adalah perangkat jaringan yang terdiri dari banyak port untuk menghubungkan Node atau titik sehingga membentuk jaringan yang saling terhubung dalam topologi star. Jika jumlah port yang tersedia tidak cukup untuk menghubungkan semua komputer yang akan dihubungkan ke dalam satu jaringan dapat digunakan beberapa hub yang dihubungkan secara up-link.Port yang tersedia biasanya sampai 8, 16, 24 atau lebih banyak sesuai kebutuhan Anda. Untuk kecepatan, Anda dapat menggunakan HUB 10 atau Switch 10/100. Sebaiknya menggunakan 10/100 karena dapat digunakan untuk jaringan berkecepatan maksimal 10 atau 100. Hub ada yang mendukung pemggunaan kabel coax yang menukung topologi BUS dan UTP yang mendukung topologi STAR. Namun type terbaru cenderung hanya menyediakan dukungan untuk penggunaan kabel UTP.
3. Kabel UTP
Ada beberapa jenis kabel yang digunakan dalam jaringan network, namun yang paling banyak dipakai pada private network/Local Area Network saat ini adalah kabel UTP.
4. Connector RJ 45
Untuk menghubungkan kabel UTP diperlukan konektor RJ-45 atau sejenis jack yang bentuknya mirip dengan jack kabel telepon namun memiliki lebih banyak lubang kabel. Konektor tersebut dipasang di kedua ujung kabel dengan per.
a. Straight kabel
Kabel straight adalah istilah untuk kabel yang menggunakan standar yang sama pada kedua ujung kabel nya, bisa EIA/TIA 568A atau EIA/TIA 568B pada kedua ujung kabel. Sederhananya, urutan warna pada kedua ujung kabel sama. Pada kabel straight, pin 1 di salah satu ujung kabel terhubung ke pin 1 pada ujung lainnya, pin 2 terhubung ke pin 2 di ujung lainnya, dan seterusnya.Jadi, ketika PC mengirim data pada pin 1 dan 2 lewat kabel straight ke switch, switch menerima data pada pin 1 dan 2. Nah, karena pin 1 dan 2 pada switch tidak akan digunakan untuk mengirim data sebagaimana halnya pin 1 dan 2 pada PC, maka switchmenggunakan pin 3 dan 6 untuk mengirim data ke PC, karena PC menerima data pada pin 3 dan
b. Crossover kabel
Kabel crossover menggunakan EIA/TIA 568A pada salah satu ujung kabelnya dan EIA/TIA 568B pada ujung kabel lainnya.
5. Repeater
Contoh yang paling mudah adalah pada sebuah LAN menggunakan topologi Bintangdengan menggunakan kabel unshielded twisted pair. Dimana diketahui panjangmaksimal untuk sebuah kabel unshileded twisted pair adalah 100 meter, maka untukmenguatkan sinyal dari kabel tersebut dipasanglah sebuah repeater pada jaringantersebut.
6. Bridge

Bridge digunakan untuk menghubungan antar jaringan yang mempunyai protokol yang sama. Hasil akhirnya adalah jaringan logis tunggal. Bridge juga dapat digunakan jaringan yang mempunyai media fisik yang berbeda. Contoh jaringan yang menggunakan fiber obtik dengan jaringan yang menggunakan coacial.Bridge mempelajari alamat tujuan lalulintas yang melewatinya dan mengarahkan ke tujuan. Juga digunakan untuk menyekat jaringan. Jika jaringan diperlambat dengan adanya lalulintas yang penuh maka jaringan dapat dibagi menjadi dua kesatuan yang lebih kecil.
7. Router

Router tidak mempunyai kemampuan untuk mempelajari, namun dapat menentukan path (alur) data antara dua jaringan yang paling eficien. Router beroperasi pada lapisan Network (lapisan ketiga OSI.). Router tidak mempedulikan topologi dan tingkat acces yang digunakan oleh jaringan. Karena ia beroperasi pada lapisan jaringan. Ia tidak dihalangi oleh media atau protokol komunikasi. Bridge mengetahui tujuan ahir paket data, Router hanya mengetahui dimana router berikutnya ditempatkan. Ia dapat digunakan untuk menghubungkan jaringan yang menggunakan protokol tingkat tinggi yang sama.Jika paket data tiba pada router, ia menentukan rute yang terbaik bagi paket dengan mengadakan pengecekan pada tabel router. Ia hanya melihat hanya melihat paket yang dikirimkan kepadanya oleh router sebelumnya .

Chemical Reactions  

Posted by M Riyadh Rizqullah in

Chemical Reactions
Let's start with the idea of a reaction. In chemistry, a reaction happens when two or more molecules interact and something happens. That's it. What molecules are they? How do they interact? What happens? Those are all the possibilities in reactions. The possibilities are infinite. There are a few key points you should know about chemical reactions.

Reaction of Hydrogen and Oxygen
Key Points
1. A chemical change must occur. You start with one compound and turn it into another. That's an example of a chemical change. A steel garbage can rusting is a chemical reaction. That rusting happens because the iron (Fe) in the metal combines with oxygen (O2) in the atmosphere. When a refrigerator or air conditioner cools the air, there is no reaction. That change in temperature is a physical change. Nevertheless, a chemical reaction can happen inside of the air conditioner.

2. A reaction could include ions, molecules, or pure atoms. We said molecules in the previous paragraph, but a reaction can happen with anything, just as long as a chemical change occurs (not a physical one). If you put pure hydrogen gas (H2) and pure oxygen gas in a room, they can be involved in a reaction. The slow rate of reaction will have the atoms bonding to form water very slowly. If you were to add a spark, those gases would create a reaction that would result in a huge explosion. Chemists would call that spark a catalyst.

Series of Chemical Reactions 3. Single reactions often happen as part of a larger series of reactions. Take something as simple as moving your arm. The contraction of that muscle requires sugars for energy. Those sugars need to be metabolized. You'll find that proteins need to move in a certain way to make the muscle contract. A whole series (hundreds actually) of different reactions are needed to make that simple movement happen.

Norma  

Posted by M Riyadh Rizqullah in


Pemilihan Miss Universe di Indonesia menjadi kontroversi karena menampilkan wanita Indonesia berpakaian renang dianggap tidak sesuai dengan norma sosial yang berlaku di Indonesia
Pemilihan Miss Universe di Indonesia menjadi kontroversi karena menampilkan wanita Indonesia berpakaian renang dianggap tidak sesuai dengan norma sosial yang berlaku di Indonesia

Norma sosial adalah patokan perilaku dalam suatu kelompok masyarakat tertentu. Norma sering juga disebut dengan peraturan sosial. Norma menyangkut perilaku-perilaku yang pantas dilakukan dalam menjalani interaksi sosialnya. Keberadaan norma dalam masyarakatbersifat memaksa individu atau suatu kelompok agar bertindak sesuai dengan aturan sosial yang telah terbentuk. Pada dasarnya, norma disusun agar hubungan di antara manusia dalam masyarakat dapat berlangsung tertib sebagaimana yang diharapkan.

Norma tidak boleh dilanggar. Siapa pun yang melanggar norma atau tidak bertingkah laku sesuai dengan ketentuan yang tercantum dalam norma itu, akan memperoleh hukuman. Misalnya, bagi siswa yang terlambat dihukum tidak boleh masuk kelas, bagi siswa yang mencontek pada saat ulangan tidak boleh meneruskan ulangan.

Norma merupakan hasil buatan manusia sebagai makhluk sosial. Pada awalnya, aturan ini dibentuk secara tidak sengaja. Lama-kelamaan norma-norma itu disusun atau dibentuk secara sadar. Norma dalam masyarakat berisis tata tertib, aturan, dan petunjuk standar perilaku yang pantas atau wajar.

Tingkatan norma sosial

Berdasarkan tingkatannya, norma di dalam masyarakat dibedakan menjadi empat.

* Cara (usage)

Cara adalah suatu bentuk perbuatan tertentu yang dilakukan individu dalam suatu masyarakat tetapi tidak secara terus-menerus.

Contoh: cara makan yang wajar dan baik apabila tidak mengeluarkan suara seperti hewan.

* Kebiasaan (Folkways)

Kebiasaan merupakan suatu bentuk perbuatan berulang-ulang dengan bentuk yang sama yang dilakukan secara sadar dan mempunyai tujuan-tujuan jelas dan dianggap baik dan benar.

Contoh: Memberi hadiah kepada orang-orang yang berprestasi dalam suatu kegiatan atau kedudukan, memakai baju yang bagus pada waktu pesta.

* Tata kelakuan (Mores)

Tata kelakuan adalah sekumpulan perbuatan yang mencerminkan sifat-sifat hidup dari sekelompok manusia yang dilakukan secara sadar guna melaksanakan pengawasan oleh sekelompok masyarakat terhadap anggota-anggotanya. Dalam tata kelakuan terdapat unsur memaksa atau melarang suatu perbuatan. Fungsi mores adalah sebagai alat agar para anggota masyarakat menyesuaikan perbuatan-perbuatannya dengan tata kelakuan tersebut.

Contoh: Melarang pembunuhan, pemerkosaan, atau menikahi saudara kandung.

* Adat istiadat (Custom)

Adat istiadat adalah kumpulan tata kelakuan yang paling tinggi kedudukannya karena bersifat kekal dan terintegrasi sangat kuat terhadap masyarakat yang memilikinya. Koentjaraningrat menyebut adat istiadat sebagai kebudayaan abstrak atau sistem nilai. Pelanggaran terhadap adat istiadat akan menerima sanksi yang keras baik langsung maupun tidak langsung. Misalnya orang yang melanggar hukum adat akan dibuang dan diasingkan ke daerah lain.

Macam norma sosial

Norma sosial di masyarakat dibedakan menurut aspek-aspek tertentu tetapi saling berhubungan antara satu aspek dengan aspek yang lainnya. Pembagian itu adalah sebagai berikut.

Norma agama
Norma agama berasal dari Tuhan, pelanggarannya disebut dosa
Norma agama berasal dari Tuhan, pelanggarannya disebut dosa

Norma agama adalah peraturan sosial yang sifatnya mutlak dan tidak dapat ditawar-tawar atau diubah ukurannya karena berasal dari Tuhan. Biasanya norma agama tersebut berasal dari ajaran agama dan kepercayaan-kepercayaan lainnya (religi). Pelanggaran terhadap norma ini dinamakan dosa.

Contoh: Melakukan sembahyang kepada Tuhan, tidak berbohong, tidak boleh mencuri, dan lain sebagainya.

Norma kesusilaan
Norma kesusilaan adalah peraturan sosial yang berasal dari hati nurani yang menghasilkan akhlak, sehingga seseorang dapat membedakan apa yang dianggap baik dan apa pula yang dianggap buruk. Pelanggaran terhadap norma ini berakibat sanksi pengucilan secara fisik (dipenjara, diusir) ataupun batin (dijauhi).

Contoh: Orang yang berhubungan intim di tempat umum akan dicap tidak susila,melecehkan wanita atau laki-laki didepan orang

Norma kesopanan
Norma kesopanan adalah peraturan sosial yang mengarah pada hal-hal yang berkenaan dengan bagaimana seseorang harus bertingkah laku yang wajar dalam kehidupan bermasyarakat. Pelanggaran terhadap norma ini akan mendapatkan celaan, kritik, dan lain-lain tergantung pada tingkat pelanggaran.

Contoh: Tidak meludah di sembarang tempat, memberi atau menerima sesuatu dengan tangan kanan, kencing di sembarang tempat.

Norma kebiasaan
Norma kebiasaan adalah sekumpulan peraturan sosial yang berisi petunjuk atau peraturan yang dibuat secara sadar atau tidak tentang perilaku yang diulang-ulang sehingga perilaku tersebut menjadi kebiasaan individu. Pelanggaran terhadap norma ini berakibat celaan, kritik, sampai pengucilan secara batin.

Contoh: Membawa oleh-oleh apabila pulang dari suatu tempat, bersalaman ketika bertemu.

Cara Membuat Blog dengan Blogger.com  

Posted by M Riyadh Rizqullah in

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Pada address browser anda ketik http://blogger.com
2. Setelah itu akan tampil seperti terlihat pada gambar dibawah ini:

3. Klik CREATE YOUR BLOG NOW.

4. Tunggu sampai muncul tampilan seperti berikut ini:

5. Email address => di isi dengan alamat email kita (sebaiknya pake alamat email di gmail.com).
6. Enter a Password => di isi password anda
7. Retype Password => di isi dengan password yang sama dengan yang di atas.
8. Display Name => di isi dengan nama kita (ini akan ditampilkan pada blog anda nantinya)
9. Word Verification => isi persis sama dengan tulisan yang diatasnya, huruf besar ditulis dengan huruf besar gitu sebaliknya.
10. Klik/centang pada “I Agree the Term Service”.
11. Setelah itu tekan tombol Continue.
12. Selanjutnya muncul tampilan seperti berikut ini:

13. Blog Title => di isi dengan judul dari blog kita, posisinya ada pada header (bagian atas blog/pada bagian atas browser anda)
14. Blog Address (URL) => untuk ini bisa anda buat sendiri, misalnya seperti punya saya http://lbsfighter.blogspot.com. Utuk URL saya cukup dimasukkan lbsfighterpada input text, tentunya untuk URL anda lain lagi.
15. Word Verification => anda isi persis sama dengan kata yang ditampilkan dibawahnya, karena klo salah tidak akan bisa melanjut kelangkah berikutnya.
16. Jika semua sudah benar anda akan melihat seperti pada tampilan berikut ini:

17. Sekarang kita memilih template yang disediakan oleh Google, sebaiknya sebelumnya ada baiknya kita mem-Preview dulu sebelum melanjutkan kelangkah berikutnya.
18. Jika sudah cocok dengan templatenya tinggal di klik Continue.

19. Langkah selanjutnya anda tekan tombol Star Posting, untuk melakukan posting pada blog anda.

Bumi  

Posted by M Riyadh Rizqullah in

Bumi
Gambar Bumi
Statistik sosial manusia
PemukimanterbesarJakarta, Tokyo, Mexico City
Bahasa
(2000 est.)
Bahasa Mandarin 14,37%,
Bahasa Hindi 6,02%,
Bahasa Inggris 5,61%,
Bahasa Spanyol 5,59%,
Bahasa Bengali 3,4%,
Bahasa Portugis 2,63%,
Bahasa Rusia 2,75%,
Bahasa Jepang 2,06%,
Bahasa Jerman 1,64%,
Bahasa Korea 1,28%,
Bahasa Perancis 1,27%,
Lainnya
Agama
(2002 est.)
Kristen 32,71%,
Islam 19,67%,
Hindu 13,28%,
Buddha 5,84%,
non-religius 14,84%,
Lainnya 13,05%
Populasi (Per 9 Maret 2005)
- Total6.423.457.263
Mata uangDolar Amerika, Yen Jepang, Euro,Pound sterling, Lainnya
PDB (perk. 2003)
-PPP51.656.251.000.000 IND
per kapita8.236 IND
-Nominal36.356.240.000.000 USD
per kapita5.797 USD
Karakteristik orbit (Epoch J2000)
Sumbu Semi-mayor149.597.887 km
(1,000 000 11 AU)
Keliling orbit0,940 Tm
(6,283 AU)
Eksentrisitas orbit0,016 710 22
Perihelion147.098.074 km
(0,983 289 9 AU)
Aphelion152.097.701 km
(1,016 710 3 AU)
Periode tahun sideris365,256 96 hari
(1,000 019 1 a)
Periode Sinodikt/a
kecepatan orbit rata-rata29,783 km/s
Kecepatan Orbit Maksimum30,287 km/s
Kecepatan Orbit Maksimum29,291 km/s
Inklinasi0,000 05°
(7,25° terhadap katulistiwamatahari)
Longitude of the ascending node348,739 36°
Argument of the perihelion114,207 83°
Satelit alami1 (Bulan), namun lihat juga 3753 Cruithne
Ciri-ciri fisik
DiameterEkuatorial12.756,28 km
Diameter Polar (Geografi)12.713,56 km
Diameter rata-rata12.742,02 km
Kepepatan0,003 35
Keliling ekuatorial40.075 km
Keliolig Poral40.008 km
Luaspermukaan510.067.420 .km²
Volume1,0832×1012 km³
Massa5,9736×1024 kg
Kepadatan5,515 g/cm³
Gravitasi permukaankatulistiwa9,780 m/s² 1
(0,997 32 gee)
Kecepatan Lepas11,186 km/s
Hari sideris0,997 258 hari (23,934 jam)
Kecepatan Putar1674,38 km/h = 465,11 m/s
(di katulistiwa)
Kemiringan Sumbu23,439 281°
Asensi kanan
dari kutub utara
0° (0 j 0 men 0 s)
Deklinasi90°
Albedo0.367
suhuPermukaan
- min
- rata-rata
- maks

185 K
287 K
331 K
Tekananpermukaan100 kPa
Kandungan udara
nitrogen77%
oksigen21%
argon1%
karbon dioksidasisanya
uap airsisanya

Bumi adalah planet ketiga dari delapan planet dalam Tata Surya. Diperkirakan usianya mencapai 4,6 milyar tahun. Jarak antara Bumi dengan matahari adalah 149.6 juta kilometer atau 1 AU (ing: astronomical unit). Bumi mempunyai lapisan udara (atmosfer) dan medan magnet yang disebut (magnetosfer) yang melindung permukaan Bumi dari angin matahari, sinar ultraungu, dan radiasi dari luar angkasa. Lapisan udara ini menyelimuti bumi hingga ketinggian sekitar 700 kilometer. Lapisan udara ini dibagi menjadi Troposfer,Stratosfer, Mesosfer, Termosfer, dan Eksosfer.

Lapisan ozon, setinggi 50 kilometer, berada di lapisan stratosfer dan mesosfer dan melindungi bumi dari sinar ultraungu. Perbedaan suhu permukaan bumi adalah antara -70°C hingga 55°C bergantung pada iklim setempat. Sehari di dibagi menjadi 24 jam dan setahun di bumi sama dengan 365,2425 hari. Bumi mempunyai massa seberat 59.760 milyar ton, dengan luas permukaan 510 jutakilometer persegi. Berat jenis Bumi (sekitar 5.500 kilogram per meter kubik) digunakan sebagai unit perbandingan berat jenis planet yang lain, dengan berat jenis Bumi dipatok sebagai 1.

Bumi mempunyai diameter sepanjang 12.756 kilometer. Gravitasi Bumi diukur sebagai 10 N kg-1 dijadikan unit ukuran gravitasi planetlain, dengan gravitasi Bumi dipatok sebagai 1. Bumi mempunyai 1 satelit alami yaitu Bulan. 70,8% permukaan bumi diliputi air. UdaraBumi terdiri dari 78% nitrogen, 21% oksigen, dan 1% uap air, karbondioksida, dan gas lain.

Bumi diperkirakan tersusun atas inti dalam bumi yang terdiri dari besi nikel beku setebal 1.370 kilometer dengan suhu 4.500°C, diselimuti pula oleh inti luar yang bersifat cair setebal 2.100 kilometer, lalu diselimuti pula oleh mantel silika setebal 2.800 kilometer membentuk 83% isi bumi, dan akhirnya sekali diselimuti oleh kerak bumi setebal kurang lebih 85 kilometer.

Kerak bumi lebih tipis di dasar laut yaitu sekitar 5 kilometer. Kerak bumi terbagi kepada beberapa bagian dan bergerak melalui pergerakan tektonik lempeng (teori Continental Drift) yang menghasilkan gempa bumi.

Titik tertinggi di permukaan bumi adalah gunung Everest setinggi 8.848 meter, dan titik terdalam adalah palung Mariana di samudra Pasifik dengan kedalaman 10.924 meter. Danau terdalam adalah Danau Baikal dengan kedalaman 1.637 meter, sedangkan danau terbesar adalah Laut Kaspia dengan luas 394.299 km2.


Lapisan bumi

Menurut komposisi (jenis dari material) -nya, bumi dapat dibagi menjadi lapisan-lapisan sebagai berikut :

Sedangkan menurut sifat mekanik (sifat dari material) -nya, bumi dapat dibagi menjadi lapisan-lapisan sebagai berikut :